Matemática elementar/Função módulo

A função módulo, também conhecida como função do valor absoluto, é aquela que associa a cada número real, a sua distância até a origem. Desta forma, a imagem dessa função normalmente é composta por valores positivos, pois uma distância jamais pode ser negativa. Veja os seguintes problemas em que é aplicada esta função:

Definição

O símbolo do módulo é | |. Quando um número apresenta-se entre estas riscas, dizemos que o seu módulo é o valor do número, sempre com sinal positivo. Assim:

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |x| = x
• |-x| = x

Podem aparecer coeficientes na equação modular, o que pode fazer, em alguns casos, o resultado da equação ser negativo:

• -|4| = -4
• |-2| - 5 = -3

Pode-se trocar o sinal de todos os coeficientes do módulo:

• |-y| + 1 = |y| + 1
• |-2x + 3| = |2x - 3|
• |x² - 2x + 1| = |-x² + 2x - 1|

Também, é indiferente resolver o módulo, multiplicação positiva ou divisão positiva primeiro:

• 2|x| = |2x|
• 3x|2x - 5| = |6x² - 15x|

Predefinição:Math

Gráfico da função

Ficheiro:Modulo.svg

Consideremos a função f(x) = |x|. Determinaremos o contradomínio:

$\begin{array}{cc}x& y=|x|\\ -2& 2\\ -1& 1\\ 0& 0\\ 1& 1\\ 2& 2\end{array}$

Podemos observar que f(x)= f(-x), assim temos que a função módulo é uma função par, pois a imagem repete à medida que os valores absolutos de x repetem.

Características da função modular de primeiro grau

Consideraremos como expressão geral da função modular de primeiro grau:

$f(x)=|ax+b|+cx+d$

Determinaremos como ponto P aquele onde a reta inverte o sentido. As coordenadas deste não são somente determinadas pelos coeficientes lineares b e d, mas também pelos angulares a e c:

$P_x=\frac{-b}{a}$

$P_y=c{P}_x+d$

Quanto aos coeficientes angulares a e c, podemos dizer que:

$\tan \alpha =|a|-c$

$\tan \beta =|a|+c$

Os quadrantes de um plano cartesiano.

Sendo α e β os ângulos que cada segmento a partir do ponto P forma com o eixo das abcissas (α, o segmento à esquerda de P e β à direita). Quanto aos valores de α temos as seguintes conclusões:

• Se α < 0, o segmento direciona-se ao quadrante III;
• Se α > 0, o segmento direciona-se ao quadrante II;
• Se α = 0, o segmento direciona-se ao quadrante III (caso P esteja no III ou IV) ou ao II (caso P esteja em I ou no II quadrante). Se P pertencer ao eixo das abcissas, o segmento permanece no eixo das abcissas.

Quanto a β:

• Se β < 0, o segmento direciona-se ao quadrante IV;
• Se β > 0, o segmento direciona-se ao quadrante I;
• Se β = 0, o segmento direciona-se ao quadrante IV (caso P esteja no III ou IV) ou ao I (caso P esteja em I ou no II quadrante). Se P pertencer ao eixo das abcissas, o segmento permanece no eixo das abcissas.

Podemos, também, analisar separadamente cada segmento. Para isso, deve-se utilizar -α.

Ainda pode ocorrer de haver sinal negativo anterior ao módulo. Neste caso, ocorre a reflexão da função no gráfico.

Soma de funções modulares de primeiro grau

Quando ocorre a soma de duas funções modulares, é possível haver mais de dois segmentos no gráfico. Nestes casos, teremos como expressão geral

$g(x)=|ax+b|+|cx+d|+ex+f$

Tenha como exemplo a função g(x) = |x + 1| - |x|:

$\begin{array}{ccc}x& g(x)& y\\ -2& |-2+1|-|-2|& -1\\ -1& |-1+1|-|-1|& -1\\ 0& |0+1|-|0|& 1\\ 1& |1+1|-|1|& 1\\ 2& |2+1|-|2|& 1\end{array}$

Note que esta apresenta três segmentos de reta:

• Quando x ≤ -1, y = -1;
• Quando -1 < x < 0, y = 2x + 1;
• Quando x ≥ 0, y = 1.

Resolução dos problemas

Você viu no início desta página dois problemas que envolvem a função módulo. A resolução destes problemas pode ser visualizada abaixo: Predefinição:Ênfase

Quando a luz atravessa uma superfície, esta tem sua trajetória desviada, tendo um traçado equivalente ao de uma função modular.

O primeiro problema é uma questão de ótica em que deve ser aplicada a Lei de Snell, que nos diz:

$n_1\sin A=n_2\sin B$

Onde n são os coeficientes de refração, e sin corresponde ao seno entre a trajetória do raio luminoso e a reta normal.

A equação |x| - 3x - 2y = 0, primeiramente, deve ser convertida para f(x) = |ax + b| + cx + d. Ela fica da seguinte forma:

$f(x)=\frac{|x|-3x}{2}$

Agora, calcularemos os ângulos dos segmentos que formam o gráfico da função:

$\tan \alpha =\left|\frac{1}{2}\right|-\frac{-3}{2}\to \tan \alpha =2\to \alpha =\arctan 2$

$\tan \beta =\left|\frac{1}{2}\right|+\frac{-3}{2}\to \tan \beta =-1\to \beta =45^{\circ }$

Descobertos os ângulos entre o eixo das abcissas e os segmentos, resta descobrir entre os segmentos e a reta normal:

$90-\alpha =90-\arctan 2$

$90-\beta =90-45=45$

A Lei de Snell pode ser aplicada:

$1\sin (90-\arctan 2)=n\sin 45$

Então:

$n=\frac{\sin (90-\arctan 2)}{\sin 45}=0,63$

Conclui-se que o coeficiente de refração da superfície é igual a 0,63.

O primeiro passo é analisar o melhor trajeto para que a bola amarela seja encaçapada pela bola preta. Observe que se a bola preta for tacada com o ângulo correto na borda inferior da imagem (y = -3), o desafio de Pedro é facilmente concluído.

Para tanto, calculemos o segmento de reta que passa tanto pela bola amarela (7;1) e a caçapa (9;3):

$\{\begin{array}{c}7a+b=1\\ 9a+b=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}b=1-7a\\ 2a=2\to a=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=1\\ b=-6\end{array}\Rightarrow f(x)=x-6$

Descubramos o ponto P em que a bola bate na borda inferior, substituindo y = -3 na função f(x) = x - 6:

$f(x)=-3\to -3=x-6\to x=3$

$P=(3;-3)$

Calcularemos, então, a reta que liga a bola (origem) ao ponto (3;-3):

$\{\begin{array}{c}0+b=0\\ 3a+b=-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}b=0\\ 3a+0=-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}b=0\\ a=-1\end{array}\Rightarrow f(x)=-x$

Os ângulos dos dois segmentos de reta são dados pela tangente de seus coeficientes angulares, trocando-se o sinal de α:

$-\alpha =-\tan -1=45^{\circ }=|a|-c$

$\beta =\tan 1=45^{\circ }=|a|+c$

Através de um sistema de equações, podemos descobrir os coeficientes angulares:

$\{\begin{array}{c}|a|-c=1\\ |a|+c=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}|a|=1\\ c=0\end{array}$

Agora podemos descobrir os coeficientes lineares através de P. para isso, optaremos para a = 1:

$P_x=\frac{-b}{1}=3$

$P_y=3\times 0+d=-3$

Assim, b = -3 e d = -3.

Portanto:

$f(x)=|1x-3|+0x-3$

Que simplificada:

$f(x)=|x-3|-3$