Matemática elementar/Equações irracionais

Uma equação irracional é uma equação onde existem polinômios e raízes.

Por exemplo:

$\sqrt{x+1}+1=x$

Uma definição mais precisa seria: uma equação algébrica irracional é uma equação onde existem funções racionais e inversas de funções polinomiais.

Solução

Um dos métodos de solução é isolar, em um dos membros da equação, os termos que incluem raízes, e elevar ambos os membros a uma mesma potência que elimine a raiz. No entanto, este procedimento não produz uma equação equivalente a original, mas sim uma equação que possui entre as suas soluções os valores que resolvem a equação inicial.

Por exemplo, quando se tem a igualdade entre uma certa expressão $x$ e outra expressão $y$, pode-se concluir que $x^2=y^2.$ Por outro lado, é perfeitamente possível que duas expressões tenham os quadrados iguais, sem que elas próprias sejam iguais. Este é o caso, por exemplo, quando se tem $(-x{)}^2=x^2$, pois para a maioria dos números, $-x=x$ (a igualdade só vale para $x=0$). Assim, se durante a resolução ambos os membros forem elevados a uma certa potência, será necessário checar se os valores obtidos como solução para a nova equação são também soluções da equação inicial.

Acompanhe o próximo exemplo:

$\sqrt{x+1}+1=x$

Isolando a raiz, elevando ao quadrado e resolvendo:

$\sqrt{x+1}=x-1$

$x+1=x^2-2x+1$

$-x^2+3x=0$

Esta equação do segundo grau possui duas soluções, a saber: $0$ e $3$. Isto não significa que ambos estes números sejam soluções da equação original, pois com os cálculos realizados até agora só é possível dizer que "se $x$ for uma solução para a equação original, então $x$ tem que ser igual a $0$ ou igual a $3$".

Resta então saber se algum destes números verifica a equação proposta:

$\sqrt{\mathrm{𝟑}+1}+1=2+1=\mathrm{𝟑}$, logo 3 também é uma solução da primeira equação.

$\sqrt{\mathrm{𝟎}+1}+1=1+1=2=\mathrm{𝟎}$, logo 0 não é uma solução da equação inicial.

Portanto, a única raiz é "x = 3

Exercícios

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