Matemática elementar/Equações algébricas

Definição

Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.

Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra

Raiz

Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.

Número de raízes de uma equação

Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.

Exemplo

Um exemplo de como completar quadrado:

Temos a seguinte equação: $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$

Agora imagine a equação:

$x^2+8x-5=0$

Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.

$x^2+8x=5$

Perceba que $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$

$(x+4{)}^2-16=5$

$(x+4{)}^2=21$

Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de

$(x+4)$,

é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.

Casos particulares

Equação do 1º grau com 1 incógnita

Problemas do 1º grau

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo $a=c-4$. Assim:

$c+a=22$

$c+(c-4)=22$

$2c-4=22$

$2c-4+4=22+4$

$2c=26$

$c=13$

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

Equação do 2º grau com 1 incógnita

Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.

Evolução

$a{x}^2+bx+c=0$, donde

$a(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a})=0$

• a multiplica os termos:

$a(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=0$

$a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a})]=0$

$a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)]=0$

$a\left[(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\right]=0$

• aqui $b^2-4ac$ tornou-se $\mathrm{\Delta }$.

$a\left[(x+\frac{b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})(x+\frac{b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})\right]=0$

• aqui temos $\left(\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)$ como X₁ e $\left(\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)$ como X₂.

$a\{x-x_1\}[x-x_2]=0$

$a(x-x_1)(x-x_2)=0$

• então,

x = x1 $x_1=\left(\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)$

x = x2 $x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)$

• por fim, $x_1$ e $x_2$ (x) é representado pela seguinte fórmula:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

Exercícios

Exercícios de aplicação da Fórmula de Bhaskara.

1. Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara
   1. $x^2-2x+1=0(S=1;1)$
   2. $y^2-6y+8=0(S=2;4)$
   3. $x^2-7x-18=0(S=-2;9)$
   4. $-y^2+2y+3=0(S=-1;3)$
   5. $x^2-4x+5=0(x\notin ℝ)$
   6. $2x^2-5x+2=0(S=0,5;2)$
   7. $9x^2+6x+1=0(x\notin ℝ)$
   8. $-4x^2-4x-1=0(0,5;0,5)$
   9. $x^2-x-1=0$
   10. $3y^2+2y-1=0(S=2/6;-1)$
   11. $x^2-4=0$
   12. $-x^2-x-4=0$
   13. $x^2-17=0$
   14. $y^2+y-20=0$
   15. $x^2+626=0$
   16. $x^2-15x=0$
   17. $x^2-3\sqrt{2}x+6=0$
   18. $-y^2-3y+10=0$
   19. $-3z^2+10z-3=0$
   20. $z^2+8z+15=0$

Exemplo 2 (2+X)(X+1)=2x+2+x.x+x

                  =x.x+3x+2=0
                  a=1
                  b=3
                  c=2

Aplicando na fórmula teremos:

Delta=b.b-4.a.c

Substituindo os valores na fórmula teremos: Delta=3×3-4×1×2 Delta =9-8 Delta=1

X1=-b+√delta/2.a

Substuindo history para x1.:

X1=-3+√1/2×1 X1=-3+1/2 X1=-2/2 X1=-1

X2=-b-√delta/2×a X2=-3-√1/2×1 X2=-3-1/2 X2=-4/2 X2=-2

Equação frigate agradesso quem a very beijinho de Cristiamo

Problemas do 2º grau

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?

Solução

x = número de convidados
24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas
24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas
24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400
simplificando a equação:
dividindo os termos por 400
60/x + 1 = 60/(x-5)
mmc: entre x e x-5 = x.(x-5)
60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x
60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0
x²-5x-300 = 0
aplicando a fórmula de Bhaskara:
x' = 20, x" = -15(raízes negativas não servem)

Resposta: 20 pessoas foram convidadas...

Equação biquadrada

Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar:

$a{x}^4+b{x}^2+c=0,a\ne 0$

A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:

$y=x^2$

Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:

$a{y}^2+by+c=0,a\ne 0$

Exercícios

Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios

Leitura complementar

• Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
• Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616