Métodos numéricos/Exercícios computacionais

Introdução

Alguns problemas computacionais.

Aritmética computacional

1. Usando o Octave, calcule e explique os resultados das seguintes operações:

$2^{1023}+2^{1023}-2^{971}=$

$2^{1023}-2^{971}+2^{1023}=$

$2^{1023}-2^{1023}=$

$2^{1023}-2^{1023}+0.1=$

$2^{1023}+0.1-2^{1023}=$

2. O limite $C=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=0.57721566490\dots$ É chamada constante de Euler.

2.1 Escreva um programa que calcula $C$ com uma precisão de $10^{-6}$ (Será que o consegue fazer?).

2.2 Verifique numericamente (para $n\le 10^7$) que o erro em cada iteração satisfaz a relação

${ϵ}_n=c_n-C=\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$

Quando $n\to +\mathrm{\infty }$.

Sistemas não lineares

Para encontrar as raízes de um polinómio $p_n(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$, onde $a_1,a_2,\dots ,a_n\in ℝ$, pode-se desenvolver a factorização, onde $z_1,z_2,\dots ,z_n$ são as raízes do polinómio,

$p_n(x)=a_n(x-z_1)(x-z_2)\times \dots \times (x-z_n)$

Estabelecendo um sistema de equações não lineares com a forma

$a_0=a_n(-1{)}^n{z}_1\times \dots \times z_n$

$a_1=a_n(-1{)}^{n-1}(z_1{z}_2+z_1{z}_3+\dots +z_1{z}_n+z_2{z}_3+z_2{z}_4+\dots +z_2{z}_n+\dots +z_n{z}_1+z_n{z}_2+\dots +z_n{z}_{n-1})$

$\dots$

$a_{n-1}=-a_n(z_1+z_2+\dots z_n)$

Que tem uma única solução. Este processo leva a um método rápido e eficaz para se calcular todas as raízes de $p_n(x)$ se se aplicar o método de Newton à resolução deste sistema não linear.

1. Suponha que existem zeros complexos para um polinómio com coeficientes reais. Haverá possibilidade de convergência do método de Newton para a solução do sistema se considerar todas as aproximações iniciais reais? Por quê?

2. Para o caso de polinómios de grau três, com a forma $p_3(x)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$, escreva explicitamente o sistema não linear que deve resolver.

3. Aplique esse método para determinar aproximadamente as soluções de $x^3+3x+1=0$, após ter escolhido uma aproximação inicial para a solução do sistema anterior. Use como critério de paragem $||z^{(k+1)}-z^{(k)}||\le 10^{-3}$.

Interpolação polinomial

Exercício sobre os polinómios de Berstein.