Logística/Técnicas de previsão/Regressão múltipla

Sousa (2009, p. 20) define regressão linear múltipla como uma relação entre uma variável aleatória dependente, $y$, e $k$ variáveis independentes, $x_1$, $x_2$, …, $x_k$, com a seguinte expressão:

$y={\beta }_0+x_1{\beta }_1+x_2{\beta }_2+x_3{\beta }_3+\dots +x_k{\beta }_k+e$

Onde, tal como no caso da regressão simples, se utiliza o método dos mínimos quadrados para determinar os parâmetros ${\beta }_i$

De acordo com Henriques (2009, p. 22), a expressão acima pode ser re-escrita na forma matricial como:

$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4\\ \dots \\ y_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_{11}& x_{21}& \dots & x_{k1}\\ 1& x_{12}& x_{22}& \dots & x_{k2}\\ 1& x_{13}& x_{23}& \dots & x_{k3}\\ 1& x_{14}& x_{24}& \dots & x_{k4}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1& x_{1n}& x_{2n}& \dots & x_{kn}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\\ {\beta }_3\\ \dots \\ {\beta }_k\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_1\\ {\epsilon }_2\\ {\epsilon }_3\\ {\epsilon }_4\\ \dots \\ {\epsilon }_n\end{array}\right]\iff Y=X\beta +\epsilon$

Onde:

$Y$:	matriz das observações da variável dependente;
$X$:	matriz das observações da variável independente, ou matriz significativa do modelo;
$\beta$:	vector dos parâmetros de regressão a serem estimados;
$\epsilon$:	vector do erro que resulta do facto de $y$ ter características aleatórias.

Admite-se que ${\epsilon }_1$, ${\epsilon }_2$, ...,${\epsilon }_k$ são variáveis aleatórias independentes de média 0 e desvio padrão ${\sigma }^2$.

Da mesma forma que na regressão simples se utiliza o método dos mínimos quadrados para estimar os parâmetros da regra de regressão, o mesmo acontece na regressão múltipla, da qual se obtém que o vector dos parâmetros da regressão é dado por:

$\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\\ {\beta }_3\\ \dots \\ {\beta }_k\end{array}\right]=\beta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T\times Y$

Caso ocorra $k=1$, está-se perante um problema de regressão linear simples, que também pode ser resolvido desta forma.

Um exemplo de regressão múltipla, dado por Henriques (2009, p. 18), é a relação entre o volume de vendas efectuadas num período de tempo por um vendedor, os seus anos de experiência, e a sua pontuação num teste de inteligência.

Predefinição:AutoCat