Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Estruturas

Introdução

Como é de se esperar, a semântica do CQC é mais complexa que a do CPC. Ainda valoramos as fórmulas por verdadeiras ou falsa, e lidamos com funções de verdade. Contudo, para lidarmos com a predicação de constantes e variáveis, assim como os quantificadores, precisamos de um recurso mais sofisticado que as valorações. Este recurso são as estruturas.

Universo e Estrutura

O universo é o conjunto das coisas que estamos tratando. Pode ser qualquer coisa, o conjunto dos seres vivos, dos números Naturais etc. As únicas restrições são que o universo não pode ser o conjunto vazio e que, no caso dos conjuntos infinitos, são aceitáveis apenas os equipotentes a $\mathbb{Q}$ .

Tomemos, por exemplo, o universo $𝒜=\{\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n},\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a},\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{J}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}\}$ .

Para este universo, criamos uma estrutura $𝔘$ formada por constantes individuais e de predicado. Relacionamos A estrutura com o universo por meio de uma função $ℐ$ que identifica cada constante da estrutura com um elemento do universo. EX:

${ℐ}_{𝔘}\left(b\right)=\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$

${ℐ}_{𝔘}\left(l\right)=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}$

${ℐ}_{𝔘}\left(j\right)=\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{J}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}$