Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Dedução Natural - Parte I/Resolução dos Exercícios

Resolução dos Exercícios de Regras de Inferência Direta

Lembre-se que a ordem na qual as derivações são feitas pode variar.

1

$\{A\leftrightarrow (B\vee C),\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }B\}⊢A\wedge B$

1.   $A\leftrightarrow (B\vee C)$   Premissa 2.   $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }B$   Premissa 3.   $B$   2 DN 4.   $B\vee C$   3 E 5.   $(B\vee C)\to A$   1 BC 6.   $A$   5,4 MP 7.   $A\wedge B$   6,3 C

2

$\{A\vee B,B\to C,\mathrm{\neg }A\wedge D\}⊢C$

1.   $A\vee B$   Premissa 2.   $B\to C$   Premissa 3.   $\mathrm{\neg }A\wedge D$   Premissa 4.   $\mathrm{\neg }A$   3 S 5.   $B$   1,4 SD 6.   $C$   2,5 MP

3

$\{A\to C,C\to A,(A\leftrightarrow C)\to B\}⊢B$

1.   $A\to C$   Premissa 2.   $C\to A$   Premissa 3.   $(A\leftrightarrow C)\to B$   Premissa 4.   $A\leftrightarrow C$   1,2 CB 5.   $B$   3,4 MP

Resolução dos Exercícios de Regras Hipotéticas

1

$P\to Q⊢P\to (Q\vee C)$

1.   $P\to Q$   Premissa   2.     $P$   Hipótese 3.     $Q$   1,2 MP 4.     $Q\vee C$   3 E 5.   $P\to (Q\vee C)$   2,4 RPC

2

$P\to \mathrm{\neg }P⊢\mathrm{\neg }P$

1.   $P\to \mathrm{\neg }P$   Premissa   2.     $P$   Hipótese 3.     $\mathrm{\neg }P$   1,2 MP 4.     $P\wedge \mathrm{\neg }P$   2,3 C 5.   $\mathrm{\neg }P$   2,4 RAA

3

$A\vee B⊢\mathrm{\neg }A\to B$

1.   $A\vee B$   Premissa   2.     $\mathrm{\neg }A$   Hipótese 3.     $B$   1,2 SD 4.   $\mathrm{\neg }A\to B$   2,3 RPC

4

$A\to B⊢\mathrm{\neg }(A\wedge \mathrm{\neg }B)$

1.   $A\to B$   Premissa   2.     $A\wedge \mathrm{\neg }B$   Hipótese 3.     $A$   2 S 4.     $\mathrm{\neg }B$   2 S 5.     $B$   1,3 MP 6.     $B\wedge \mathrm{\neg }B$   5,4 C 7.   $\mathrm{\neg }(A\wedge \mathrm{\neg }B)$   2,6 RAA

5

$\{\mathrm{\neg }(A\wedge B),A\}⊢\mathrm{\neg }B$

1.   $\mathrm{\neg }(A\wedge B)$   Premissa 2.   $A$   Premissa   3.     $B$   Hipótese 4.     $A\wedge B$   2,3 C 5.     $(A\wedge B)\wedge \mathrm{\neg }(A\wedge B)$   1,4 C 6.   $\mathrm{\neg }B$                           3,5 RAA