Introdução aos Conceitos de Filosofia/Lição IV

Raciocínios dedutivos, indutivos e abdutivos

Indução Matemática

Quando o grande matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ainda era um jovem estudante do primário, seu professor passou uma árdua tarefa para a classe, somar todos os números Naturais de 1 a 100, ou seja, 1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100.

Contudo, Gauss retornou rapidamente com a resposta, 5050. Seu raciocínio foi o seguinte:

1+100=101

2+99=101

3+98=101

...

Ou seja, a somatória de todos os números Naturais de 1 a 100 é o mesmo que 50 adições cujo resultado é 101. Portanto:

$1+2+3+...+98+99+100=50\times 101=5050$

Não é necessário ser um gênio como Gauss para passar a aplicar este princípio a outras somatórias de números Naturais consecutivos começando por 1. Por exemplo:

$1+2+3++4+5+6+7+8+9+10=5\times 11=55$

$1+2+3+...+998+999+1000=500\times 1001=500500$

Podemos generalizar isto assim:

$1+2+3+...+(n-1)+n=(1+n)\times \frac{n}{2}$

Ou seja, toda somatória de números Naturais consecutivos de 1 a n resulta em n+1 vezes a metade de n.

Mas como provar isto com todo o rigor necessário para a Matemática?

Podemos fazê-lo por meio da Indução Infinita.

Indução Infinita consiste em um método de prova no qual, dado um conjunto infinito - neste caso, ${\mathbb{N}}^{+}$ - dada um propriedade $P$, se $P$ for verificada para o primeiro elemento de do conjunto, e se for verificado que se $P$ vale para o k-ésimo elemento, então vale para o k-ésimo-primeiro, está provado que $P$ vale para todos os elementos do conjunto em questão.

Em termos mais simples, se verificada a propriedade $P$ no primeiro elemento do conjunto, e se da hipótese que um elemento qualquer do conjunto verifica $P$ for derivado que o sucessor deste também verifica $P$, está provado que todos os elementos verificam $P$.

Exemplo:

• Tese:

$1+2+3+...+n=(1+n)\times \frac{n}{2}$

Para $n=1$

$1=(1+1)\times \frac{1}{2}$

$1=\frac{2}{2}$

$1=1$

• Hipótese:

$1+2+3+...+k=(1+k)\times \frac{k}{2}$

$1+2+3+...+k+(k+1)=(1+k)\times \frac{k}{2}+(k+1)$

$=\frac{k^2+k}{2}+(k+1)$

$=k\frac{k+1}{2}+\frac{2(k+1)}{2}$

$=k+2\times \frac{(k+1)}{2}$

$=(1+(k+1))\times \frac{(k+1)}{2}$

O que prova a tese.