Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números/Soma de números irracionais 1

O problema

Se
$a=\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$
e
$b=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$,
calcule o valor de (a + b).

Uma solução

Como nós temos vários radicais para retirar, podemos usar o artifício dos produtos notáveis para resolver esse problema. Utilizando então o produto notável (a + b)²:

${(a+b)}^2=4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}+2.\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}.\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

${(a+b)}^2=8+2.\sqrt{16-10-2\sqrt{5}}$

${(a+b)}^2=8+2.\sqrt{6-2\sqrt{5}}=8+2.\sqrt{{(\sqrt{5}-1)}^2}$

${(a+b)}^2=8+2\sqrt{5}-2=6+2\sqrt{5}$

$a+b=\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{{(\sqrt{5}+1)}^2}$

$a+b=\sqrt{5}+1$

E assim terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.