Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Problema das circunferências tangentes 1

Descrição do problema

Três circunferências de raios 6 cm, 7 cm e 8 cm tangenciam-se externamente de modo que a primeira tangencia a segunda; a segunda tangencia a terceira e esta tangencia a primeira. Sejam P, S e Q os seus pontos de tangência. Calcule o raio da circunferência inscrita no triângulo $PSQ$.

Solução

De acordo com o problema, podemos criar a figura adiante:

Imagem ilustrativa do problema.

Sendo o triângulo ABC formado pelos centros das circunferências e o triângulo pqs formado pelos pontos de tangência entre as circunferências. Perecebe-se também que os segmentos AB, AC e BC têm 13, 14 e 15 centímetros respectivamente. A cirunferência k está inscrita no triângulo pqs, sendo r o seu raio.

Olhando atentamente, podemos calcular a área do triângulo ABC pela fórmula $A=\sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}$ (onde p é o semiperímetro do triângulo e a, b e c são seus lados) e, em seguida, aplicar a fórmula $A=\frac{a.b.\sin \alpha }{2}$ para cada ângulo do referido triângulo. Dessa maneira, conseguiremos o valor dos senos dos três ângulos para, posteriormente, calcularmos seus respectivos cossenos e prosseguirmos com o raciocínio.

Calculando o valor de $\cos \alpha$

$A=\sqrt{21.(21-13).(21-14).(21-15)}\to A=\sqrt{\mathrm{21.8.7.6}}\to A=\sqrt{2^4.3^2.7^2}\to A=84c{m}^2$

$A=\frac{AB.AC.\sin \alpha }{2}\to 84=\frac{\mathrm{13.14.}\sin \alpha }{2}\to 84=\mathrm{13.7.}\sin \alpha \to \sin \alpha =\frac{12}{13}$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\to \frac{144}{169}+{\cos }^2\alpha =1\to {\cos }^2\alpha =1-\frac{144}{169}\to {\cos }^2\alpha =\frac{25}{169}\to \cos \alpha =\frac{5}{13}$

Calculando o valor de $\cos \beta$

$A=\frac{AB.BC.\sin \beta }{2}\to 84=\frac{\mathrm{13.15.}\sin \beta }{2}\to 168=\mathrm{13.15.}\sin \beta \to \sin \beta =\frac{56}{65}$

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1\to \frac{3136}{4225}+{\cos }^2\beta =1\to {\cos }^2\beta =1-\frac{3136}{4225}\to {\cos }^2\beta =\frac{1089}{4225}\to \cos \beta =\frac{33}{65}$

Calculando o valor de $\cos \gamma$

$A=\frac{BC.AC.\sin \gamma }{2}\to 84=\frac{\mathrm{14.15.}\sin \gamma }{2}\to 12=15.\sin \gamma \to \sin \gamma =\frac{4}{5}$

${\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1\to \frac{16}{25}+{\cos }^2\gamma =1\to {\cos }^2\gamma =1-\frac{16}{25}\to {\cos }^2\gamma =\frac{9}{25}\to \cos \gamma =\frac{3}{5}$

Agora, com os valores dos cossenos dos ângulos em mãos, podemos calcular o valor dos lados do triângulo pqs pela Lei dos Cossenos.

Calculando o valor de $\overline{ps}$

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Aps tem-se:

$p{s}^2=6^2+6^2-\mathrm{2.6.6.}\cos \alpha \to p{s}^2=2.36-\mathrm{2.36.}\frac{5}{13}\to p{s}^2=\frac{26.36-10.36}{13}\to p{s}^2=\frac{16.36}{13}$ $\to ps=\frac{24}{\sqrt{13}}\to ps=\frac{24\sqrt{13}}{13}cm$

Calculando o valor de $\overline{pq}$

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Bpq tem-se:

$p{q}^2=7^2+7^2-\mathrm{2.7.7.}\cos \beta \to p{q}^2=2.49-\mathrm{2.49.}\frac{33}{65}\to p{q}^2=\frac{130.49-66.49}{65}\to p{q}^2=\frac{64.49}{65}\to$ $pq=\frac{56}{\sqrt{65}}\to pq=\frac{56\sqrt{65}}{65}cm$

Calculando o valor de $\overline{qs}$

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Cqs tem-se:

$q{s}^2=8^2+8^2-\mathrm{2.8.8.}\cos \gamma \to q{s}^2=2.64-\mathrm{2.64.}\frac{3}{5}\to q{s}^2=\frac{10.64-6.64}{5}\to q{s}^2=\frac{4.64}{5}\to qs=\frac{16}{\sqrt{5}}$ $qs=\frac{16\sqrt{5}}{5}cm$

Pois bem. Agora, podemos descobrir o valor do raio da circunferência inscrita no triângulo ABC através da fórmula $R=\frac{A}{p}$, na qual R é o raio da circunferência inscrita no triângulo, A e p são a área e o semi-perímetro do mesmo. Podemos notar que esse raio será também o da circunferência circunscrita ao triângulo pqs e, a partir dele e dos lados do referido triângulo, podemos encontrar o que o problema pede: o raio da circunferência inscrita nele.

Calculando o valor do raio da circunferência inscrita em $pqs$

Aplicando a fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo qualquer para o triângulo ABC: $R=\frac{A_{ABC}}{p_{ABC}}\to R=\frac{84}{21}\to R=4cm$

Como esse também é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo pqs podemos calcular o tão esperado raio da circunferência inscrita neste:

$r=\frac{A_{pqs}}{p_{pqs}}$

Mas: $A=\frac{pq.qs.ps}{4R}$, sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo pqs. Portanto:

$r=\frac{pq.qs.ps}{4Rp}\to r=\frac{\left(\frac{24\sqrt{13}}{13}\right).\left(\frac{56\sqrt{65}}{65}\right).\left(\frac{16\sqrt{5}}{5}\right)}{\mathrm{4.4.}\left(\frac{\frac{24\sqrt{13}}{13}+\frac{56\sqrt{65}}{65}+\frac{16\sqrt{5}}{5}}{2}\right)}\to$ $r=\frac{\left(\frac{\mathrm{24.56.16.65}}{\mathrm{13.5.65}}\right)}{\mathrm{8.8.}\left(\frac{15\sqrt{13}+7\sqrt{65}+26\sqrt{5}}{65}\right)}\to$

$r=\frac{\mathrm{24.56.16}}{\mathrm{8.8.}(15\sqrt{13}+7\sqrt{65}+26\sqrt{5})}\to r=\frac{21.16}{\sqrt{13}.(15+7\sqrt{5})+26\sqrt{5}}\to$

$r=\frac{21.16}{\sqrt{13}(15+7\sqrt{5}+2\sqrt{13}\sqrt{5})}\to r=\frac{21.16}{\sqrt{13}\sqrt{5}(3\sqrt{5}+7+2\sqrt{13})}\to$

$r=\frac{21.16\sqrt{65}}{65.(3\sqrt{5}+7+2\sqrt{13})}$

Esse foi o valor final que eu encontrei para r. Eu ainda não consegui racionalizar mais, a ponto de tornar expressão mais simples... Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.