Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Distância entre os centros de dois círculos

O problema

Se os lados de um triângulo medem, respectivamente, 3x, 4x e 5x, em que x é um número inteiro positivo, então calcule a distância entre os centros dos círcrulos inscrito e circunscrito a esse triângulo.

Uma solução

Antes de mais nada, se o triângulo possui lados iguais a 3x, 4x e 5x ele é um triângulo retângulo, com hipotenusa igual a 5x e catetos iguais e 3x e 4x. Através disso, podemos calcular as medidas dos raios dos círculos inscrito e circunscirto a esse triângulo, r e R respectivamente:

$r=\frac{A}{p}=\frac{\frac{3x.4x}{2}}{\frac{3x+4x+5x}{2}}=\frac{6x^2}{6x}=x$

Sendo A a área do triângulo e p seu semiperímetro.

$A=\frac{a.b.c}{4R}⟶R=\frac{a.b.c}{4A}⟶R=\frac{60x^3}{24x^2}=\frac{5x}{2}$

Sendo A a área do triângulo e a, b e c são os lados do mesmo. Essa fórmula da área é conseqüência imediata da Lei dos Senos. A utilização da mesma serviu para mostrar que toda circunferência - ou todo círculo - circunscrita a um triângulo retângulo possui diâmetro igual à hipotenusa do triângulo.

Agora, podemos elaborar uma imagem ilustrativa para auxiliar na solução:

Imagem ilustrativa.

Perceba aqui que r, z e d formam um triângulo retângulo. Então:

$d^2=r^2+z^2⟶d^2=x^2+z^2$....(I)

Agora, vamos atentar para o ângulo $\alpha$. Como a reta que contém o segmento Co é a bissetriz do ângulo BCA, $\alpha$ é a metade desse ângulo. Veja ainda que:

$tg\alpha =\frac{r}{z+R}=\frac{x}{z+\frac{5x}{2}}=\frac{x}{\frac{2z+5x}{2}}=\frac{2x}{2z+5x}$....(II)

Porém, como já vimos, o ângulo $\alpha$ é a metade do ângulo BCA. Sendo assim, pela fórmula da bissecção de arcos:

$tg\alpha =\sqrt{\frac{1-cos(2\alpha )}{1+cos(2\alpha )}}=\frac{\sqrt{1-cos(2\alpha )}}{\sqrt{1+cos(2\alpha )}}.\frac{\sqrt{1-cos(2\alpha )}}{\sqrt{1-cos(2\alpha )}}=\frac{\sqrt{{(1-cos(2\alpha ))}^2}}{\sqrt{1-co{s}^2(2\alpha )}}=\frac{1-cos(2\alpha )}{sen(2\alpha )}$

Como o ângulo $2\alpha$ é o ângulo BCA, temos que:

$cos(2\alpha )=\frac{4}{5}$

$sen(2\alpha )=\frac{3}{5}$

Substituindo esses valores na fórmula da tagente que nós encontramos:

$tg\alpha =\frac{1-\left(\frac{4}{5}\right)}{\frac{3}{5}}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{3}$

Agora, nós podemos substituir esse valor da tagente de $\alpha$ em (II) e encontrar o valor de z em função de x:

$\frac{2x}{2z+5x}=\frac{1}{3}⟶2z+5x=6x⟶z=\frac{x}{2}$

Finalmente, podemos substituir esse valor de z na equação (I) para encontrar o valor de d:

$d^2=x^2+\frac{x^2}{4}=\frac{5x^2}{4}$

$d=\frac{x\sqrt{5}}{2}$

E assim terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.
• A Euclides (usuário do Fórum Só Matemática) que tornou possível a disponibilização da demonstração da fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo qualquer.