Curso de termodinâmica/Variação de entropia dos gases perfeitos-Ciclo de Carnot

Ciclo de Carnot

Considerações iniciais:

Durante o processo reversível de um estado (T1, V1, P1) para um estado (T2, V2, P2), temos:

$dS=\frac{\delta q}{T}$ segunda lei

$dS=\frac{dE+PdV}{T}$ primeira lei

$dE=C_{V}dT$ gás perfeito

Em conseqüência:

$dS=\frac{C_{v}dT+PdV}{T}$

então:

$\mathrm{\Delta }S=C_{V}ln\frac{T_2}{T_1}+nRln\frac{V_2}{V_1}$

Porém, para um gás perfeito

$C_P=C_V+nRe\frac{P_1{V}_1}{T_1}=\frac{P_2{V}_2}{T_2}=nR$

o que leva a :

$\mathrm{\Delta }S=C_{p}ln\frac{T_2}{T_1}-nRln\frac{P_2}{P_1}$

Definição do ciclo

Um ciclo de Carnot compreende quatro etapas reversíveis que aplicamos a n mols de um gás perfeito:

• Uma dilatação (descompressão) isoterma a temperatura T1 = T2 = T_{fonte quente};
• Uma dilatação adiabática de T_{fonte quente} a T3 = T_{fonte fria};
• Uma compressão isoterma a T3 = T4 = T_{fonte fria};
• Uma compressão adiabática de T4 = T_{fonte fria} à T1 = T_{fonte quente}.

As etapas do ciclo de Carnot

O ciclo de Carnot constitui um exemplo simples de máquina, quer dizer um instrumento que permite a conversão de calor em trabalho ou de trabalho em calor.

Cálculo de w, q e E para cada etapa

Etapa A

Durante a expansão isoterma, uma quantidade de trabalho w_A é fornecida (perdida) pelo sistema. Simultaneamente, o calor q_A é absorvido:

$\mathrm{\Delta }{E}_A=0$ $w_A=-\underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}PdV=-nR{T}_{1}ln\frac{V_2}{V_1}<0$ $q_A=-w_A=nR{T}_{1}ln\frac{V_2}{V_1}>0$

Etapa B

A expansão adiabática do gás conduz a um resfriamento da temperatura da fonte quente T1 = T2 para a temperatura da fonte fria T3 = T4. O trabalho é fornecido pelo sistema (é uma expansão ) mas acontece nenhuma transferência de calor.

$\mathrm{\Delta }{E}_B=w_B=n{\overline{C}}_V(T_{fontefria}-T_{fontequente})<0$ $q_B=0$

Etapa C

$\mathrm{\Delta }{e}_c=0$

$w_c=-\underset{V_3}{\overset{V_4}{\int }}PdV=-nR{T}_{3}ln\frac{V_4}{V_3}>0$

$q_C=-w_c=nR{T}_{3}ln\frac{V_4}{V_3}<0$

Etapa D

$\mathrm{\Delta }{E}_D=w_d=n{\overline{C}}_V(T_{fontequente}-T_{fontefria})>0$

A equação de estado do gás permite simplificarem-se as expressões. Assim, durante a expansão adiabática (etapa B), temos:

$d{E}_B=n{\overline{C}}_{V}dT=\delta w_b=-PdV$

mas:

${\overline{C}}_{V}dT=-\frac{RT}{V}dV$ ${\overline{C}}_V\frac{dT}{T}=-R\frac{dV}{V}$ ${\overline{C}}_{V}ln\frac{T_{fontefria}}{T_{fontequente}}=-Rln\frac{V_3}{V_2}=Rln\frac{V_2}{V_3}$

Da mesma maneira, para a compressão adiabática (etapa D):

${\overline{C}}_{V}ln\frac{T_{fontequente}}{T_{fontefria}}=-Rln\frac{V_1}{V_4}$

Deduzimos dessas relações que

$\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}$

Balanço do ciclo

a) calor

$q_{ciclo}=\sum _{ciclo}{q}_i=q_A+q_C$

$q_{ciclo}=nR{T}_{fontequente}ln\frac{V_2}{V_1}+nR{T}_{fontefria}ln\frac{V_4}{V_3}$ $q_{ciclo}=nRln\frac{V_2}{V_1}(T_{fontequente}-T_{fontefria})>0$

b) trabalho

$w_{ciclo}=\sum _{ciclo}{w}_i=w_A+w_{C}porque{w}_B=-w_D$ $w_{ciclo}=-q_A-q_C$ $w_{ciclo}=nRln\frac{V_2}{V_1}(T_{fontefria}-T_{fontequente})<0$

c) energia

$\mathrm{\Delta }E=w_{ciclo}+q_{ciclo}=0$, de acordo com a primeira lei.Vverificamos igualmente que nem o trabalho nem o calor são funções de estado.

Globalmente, o sistema absorveu calor e forneceu trabalho. O ciclo de Carnot é um exemplo simples de uma máquina térmica, quer dizer, de um sistema capaz de transformar calor em trabalho. Um veículo automóvel é um outro exemplo de máquina (a combustão da gasolina fornece calor que é transformado em trabalho de deslocamento). O resultado do ciclo de Carnot sugere que poderíamos recuperar em trabalho 100 % do calor fornecido. Entretanto, mesmo que não houvesse nenhuma perda de calor por condução e de energia mecânica por atrito, isso não poderia acontecer, porque o calor q_C é devolvido pelo sistema no lugar frio da máquina e, na prática, não pode ser reutilizado para operar a máquina. O rendimento máximo de uma máquina de Carnot é:

$rendimento=\frac{-w_{ciclo}}{q_A}=1+\frac{q_C}{q_A}=1-\frac{T_{fontefria}}{T_{fontequente}}$

Conversão de trabalho em calor

Se percorrermos o ciclo de Carnot no sentido inverso, o sistema recebe energia mecânica e fornece calor em troca . É o principio da geladeira e da bomba a calor. Um gás é comprimido à temperatura do local. Fazendo isso, ele libera calor. O gás é transportado para a fonte fria (dentro da geladeira ou fora do prédio) onde sua expansão é acompanhada de uma absorção de calor.

Verificação da segunda lei

Sendo S uma função de estado, temos S_ciclo = 0. Por outro lado, como cada etapa é reversível:

$\mathrm{\Delta }{S}_i=\frac{q_i}{T}$

Verificamos que:

$\mathrm{\Delta }{S}_{ciclo}=\sum _{ciclo}\mathrm{\Delta }{S}_i=\sum _{ciclo}\frac{q_i}{T}=\frac{q_A}{T_{fontequente}}+\frac{q_C}{T_{fontefria}}=0$