Cálculo (Volume 3)/Sequências numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Conceitos Iniciais

Uma sequência pode ser entendida como um conjunto de valores enumerados em uma ordem, de forma a estabelecer uma lista. Esta lista é, usualmente, denotada como $a_n$, genericamente devido ao fato de que cada elemento pode ser identificado pela posição na lista. Temos, por exemplo, $a_1,a_2,a_3,a_4,\cdots a_n$, como uma representação de uma sequência.

Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

$P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\mathrm{...})$

$P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;\mathrm{...})$

Vejamos alguns exemplos de sequências, notando que, a princípio, não há uma regra clara para estabelecimento de cada valor que os termos da mesma assumem:

$\{0,1,0,3,0,5,1,7\cdots \}$

$\{\frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{3}{27}\cdots \}$

$\{\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\cdots \}$

Fórmula do termo geral

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

$a_n=a_1+(n-1).r$

Apesar de não haver uma exigência de que haja uma equação que descreva o comportamento dos elementos de uma sequência, as sequências que mantem uma relação como regra para definição de seus termos são muito úteis para o estudo do comportamento numérico. De modo genérico, podemos dizer que o mais comum é estabelecer uma relação do numero que designa o ítem da sequência e o elemento. Por exemplo, podemos ter:

$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Esta sequência nos fornece para cada termo a somatória dos números inteiros até o nésimo elemento da sequência. A função sequência tem um gráfico onde os valores são apresentados como pontos cuja magnitude é expressa em $y$ e o número do indice da sequência é expresso em $x$, vejamos o exemplo abaixo:

Podemos observar que os pontos representantes das amplitudes fazem com que o aspecto do gráfico de uma sequência seja diferente do conjunto contínuo que nos abituamos a observar em gráficos de funções. Enquanto a função se mantém definida para $ℝ$, a sequência define valores em ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

Observando o gráfico da sequência, vemos que a medida que os números índice crescem as amplitudes se aproximam de um valor fixo em "y". Esta característica torna-se bastante útil para análise de tendências. Por este motivo vamos analisar estas sequências com maior atenção.

Formalmente

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é ${\mathbb{Z}}_{+}^{\ast }$ e cuja imagem é $ℝ$ ou $\mathbb{Z}$. $f:{\mathbb{Z}}_{+}^{\ast }\to ℝ$

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A seqüência também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de $\mathbb{N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}$

Notações:

  1 $(a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots )$
  2 $a_1,a_2,a_3,\dots$
  3 $f(n)=f(1),f(2),f(3),\dots ,f(n),\dots$
  4 $f(n)=a_n{a}_n=a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

Evolução

As sequências evoluem, dependendo do seu número sequencial $n$, de diversas formas. Esta evolução pode ser classificada quando a equação da sequência é conhecida. Podemos, nestes casos, verificar se a evolução da fórmula leva a números em ordem crescente ou decrescente em um intervalo ou durante sua evolução completa, do primeiro elemento ao infinito.

Uma sequência é classificada como crescente quando, para cada $n$, temos $a_n<a_{n+1}$ e decrescente quando $a_n>a_{n+1}$. Este comportamento pode ser encontrado em um trecho em particular da evolução, delimitado por dois valores de $n$, ou em toda a evolução. Sob este contexto, uma sequência crescente ou decrescente pode ser chamada de monotônica quando apresenta apenas um dos comportamentos.

Vamos analisar a evolução da sequência: $a_n=\frac{n+1}{5n-2}$

$a_1=\frac{1+1}{5(1)-2}=\frac{2}{3}$

$a_2=\frac{2+1}{5(2)-2}=\frac{3}{8}$

$a_3=\frac{3+1}{5(3)-2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

$a_4=\frac{4+1}{5(4)-2}=\frac{5}{18}$

$a_5=\frac{5+1}{5(5)-2}=\frac{6}{23}$

ou seja, temos:

$a_n=\{\frac{2}{3},\frac{3}{8},\frac{1}{3},\frac{5}{18},\frac{6}{23},\cdots \}$

Portanto, a sequência aparentemente indefinível algebricamente por uma expressão em função do índice, se mostra redutível a uma equação. Estas séries redutíveis a equações nos fornecem informações muito úteis, nos permitindo encontrar relações e regras que podemos usar na síntese de equações.

Limites no infinito

Temos sequências que se aproximam de valores quando $n$ tende a aumentar indefinidamente, ou seja, quando o valor desta variável tende a infinito. Este comportamento é similar ao encontrado quando analisamos funções que tendem a valores quando levadas ao infinito. A única diferença entre funções e sequências, quando analisadas sob este aspecto, é o fato das sequências exigirem valores inteiros das variáveis, enquanto que funções admitem valores reais para as mesmas.

Uma vez que temos a evolução de valores de sequências similares a valores de funções, é plausível concluir que limites em valores estritamente limitados a números inteiros possam levar a análise de limites de forma semelhante. Então vejamos como esta análise pode ser conduzida:

Conforme fizemos o estudo de limites no infinito no Volume 1, temos $N$ como um número tomado sob a abscissa inteira, ou seja, um número inteiro. Uma vez que tomamos este número, façamos a sequência $a_n$ evoluir a números maiores e observamos que estes se aproximam de um valor $M$, quanto mais alto seja $N$ mais proximo de $M$ a sequência $a_n$ se estabelece:

$a_n>M$ sempre que $n>N$

Desta forma, os valores tomados para a sequência são inteiros e o número $M$ tem a única obrigação de estar definido para um valor $N$. Portanto, podemos arbitrar valores cada vez maiores para $M$ dentro do limite estabelecido. Neste intervalo, qualquer valor de $N$ inteiro leva a valores que se aproximam de $M$ por parte de $a_n$.

O fato de ser possível encontrar este limite nos reporta a informação de convergência, ou seja dizemos que uma sequência converge quando é possível encontar um limite no infinito, caso contrário dizemos que a sequência diverge. Portanto, podemos classificar as sequências como convergentes ou divergentes de acordo com a existência do limite no infinito ou sua inexistência.

Limite de uma sequência

Definição: Dada uma seqüência $a_n$, dizemos que o número $L\in ℝ$ é o limite de $a_n$ para $n\to +\mathrm{\infty }$ se, $\mathrm{\forall }\epsilon$ > 0, $\mathrm{\exists }N$ tal que $n\ge N\Rightarrow |a_n-L|$ < $ϵ$.

Definição: Se a seqüência $a_n$ tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Encontremos o limite quanto $n$ tende a infinito, para a sequênca do exemplo acima:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{5n-2}$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{n}}{5-\frac{2}{n}}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\frac{1}{5}$

Desta forma o resultado acima nos fornece a certeza de que podemos arbitrar valores para a variável de forma a conseguir a precisão que queiramos para a sequência e que sempre teremos valores mais próximos deste limite a medida que o valor da variável aumenta.

Propriedades de sequências

Sejam $\{a_n\},\{b_n\}$ duas seqüências convergentes, isto é, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=B$. Então:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\pm b_n)=A+B$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}k\cdot (a_n)=k\cdot A$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B},B\ne 0$

Subsequências

Definição: Dada uma seqüência $f:{\mathbb{Z}}_{+}^{\ast }\to ℝ$, as restrições de $f$ a subconjuntos de ${\mathbb{Z}}_{+}^{\ast }$ serão denominadas subseqüências de $f$.

Teorema: Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=L$, então toda subseqüência de $\{a_n\}$ converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência $\{a_n\}$, se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então $\{a_n\}$ converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência $a_n$, temos que:

• l é chamada de cota inferior se $l\le a_n,\mathrm{\forall }n$
• L é chamada de cota superior se $L\ge a_n,\mathrm{\forall }n$
• $a_n$ é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência crescente ($a_1\le a_2\le a_3\le \dots$), então $a_1$ é uma cota inferior
• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência decrescente ($a_1\ge a_2\ge a_3\ge \dots$), então $a_1$ é uma cota superior
• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ($a_n$ > $0$), então $a_n$ é limitada, $0\le a_n\le a_1$

Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Sequências monótonas e limitadas

Definição: Seja $\{a_n\}$ uma seqüência monótona:

• crescente, se $a_n\le a_{n+1}$
• decrescentes, se $a_n\ge a_{n+1}$