Cálculo (Volume 3)/Sequências e séries: Exercícios

1. Suponha que a n-ésima soma parcial de uma série seja dada por $s_n=2-\frac{1}{3^n}$.

   a) Esta série converge? Em caso afirmativo, para qual valor?

   b) Qual é a fórmula do n-ésimo termo da série?

2. Determine o valor para o qual as séries abaixo convergem:

   a) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{3}{4^n}$

   b) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{2}{e}\right)}^n$

   c) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2-n}$

   d) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{n-1}}{3^n}$

3. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:

   a) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

   b) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$

   c) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{n^2+1}$

   d) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\ln n}$

   e) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{2^n}$

   f) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \pi n}{n}$

   g) $\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n\ln n-1}$

4. Determine se as séries abaixo convergem condicionalmente, convergem absolutamente ou divergem:

   a) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$

   b) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\ln n}{n}$

   c) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n}{(\ln n{)}^2}$

   d) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^n}{e^n-1}$

   e) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{{\sin }^{2}n}$

   f) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{(2n)!}$

   g) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{e}^{1/n}}{\arctan n}$