Cálculo (Volume 3)/Séries de termos positivos

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries de termos positivos

$\sum a_n;a_n>0,\mathrm{\forall }n$

Teste da integral

Seja $\sum a_n$ uma série de termos positivos. Seja $f(x)$ uma função positiva, contínua e decrescente para $x\ge 1$, e tal que $f(n)=a_n$, para $n\ge 1$. Então a série $\sum a_n=\sum f(x)=f(1)+f(2)+\dots$:

• Converge, se ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ convergir;
• Diverge, se ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ divergir.

Teste da comparação simples

Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$, $a_n,b_n$ > $0$, tais que $a_n\ge b_n$. Então:

• Se $\sum a_n$ converge, então $\sum b_n$ converge
• Se $\sum b_n$ diverge, então $\sum a_n$ diverge

Teste da comparação por limite

Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$, $a_n,b_n$ > $0$, tais que $a_n\ge b_n$. Se:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=k,k\ne 0$, então as séries têm o mesmo comportamento
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0$, então a série $\sum a_n$ converge se a série $\sum b_n$ converge
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=+\mathrm{\infty }$, então a série $\sum a_n$ diverge se a série $\sum b_n$ diverge

P-séries (Critério de Dirichelet)

Uma série do tipo $\sum \frac{1}{n^p}$ converge se p > 1 e diverge se $p\le 1$. Essas séries são conhecidas como p-séries, e são comumente usadas em testes de comparação.

Teste da razão (Critério de d'Alembert)

Seja $\sum a_n$ uma série, onde $a_n$ > $0$. Então:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz (Critério de Cauchy)

Seja $\sum a_n$ uma série, onde $a_n$ > $0$. Então:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

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