Cálculo (Volume 3)/Séries de potências

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries de potências

Uma série de potências é uma série do tipo $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a{)}^2+\dots$ (série de potências de $x-a$), em que a e a_n são constantes.

Observação: Note que não se trata de uma série numérica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em _domínio de convergência_, $D_c$, que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.

Teorema: Seja a série $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n$ com raio de convergência $r$, isto é, a série converge no intervalo aberto $(a-r,a+r)$. Então, chamando $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n$ de $f(x)$, temos:

• $f(x)$ é contínua em $(a-r,a+r)$
• $\mathrm{\exists }{f}^{\prime }(x)$ tal que $f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\cdot a_n(x-a{)}^{n-1}$
• $\mathrm{\exists }H(x)$ tal que $H(x)=\int (\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n)dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n(x-a{)}^{n+1}}{n+1}$

Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é comum partir de uma das seguintes séries:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=\frac{1}{1-x}\text{se }|x|$ < $1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=e^x$

Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e diferenciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja soma queremos determinar.

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