Cálculo (Volume 3)/Séries alternadas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries alternadas

São séries da forma:

$\sum (-1{)}^{n+1}{a}_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots$
ou
$\sum (-1{)}^n{a}_n=-a_1+a_2-a_3+a_4-\dots$

Teste de Leibniz

Seja a série alternada $\sum (-1{)}^{n+1}{a}_n$, $a_n$ > $0$. Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ e $a_n$ > $a_{n+1},\mathrm{\forall }n$, então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.

Séries absolutamente convergentes

Uma série numérica $\sum a_n$ é absolutamente convergente se a série dos módulos, $\sum |a_n|=|a_1|+|a_2|+\dots$, converge.

Teorema: Se uma série numérica $\sum a_n$ é absolutamente convergente, então é convergente.

Séries condicionalmente convergentes

Uma série $\sum a_n$ convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente.

Teste da razão para convergência absoluta

Seja $\sum (-1{)}^n{a}_n$ uma série numérica. Então

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz para convergência absoluta

Seja $\sum (-1{)}^n{a}_n$ uma série numérica. Então

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Predefinição:AutoCat