Cálculo (Volume 2)/Geometria tridimensional/Vetores no espaço

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III

Definição

Seja $a_n$ um representante do conjunto de números reais enumerados de forma a identificar um dos valores em uma das dimensões do espaço, chamamos cada um destes elementos de componente.

Definimos o vetor como o conjunto de componentes que definem um ponto em um sistema de coordenadas cartesianas tais que sejam identificados por $<a_1,a_2,a_3,\mathrm{...},a_n>$, até n dimensões que possam ser expressas.

Representação

A representação de um vetor é comumente feita através de um segmento de reta com uma seta em uma das extremidades, o que indica o sentido em que o vetor evolui. A distância entre as duas extremidades é dada como a quantidade, amplitude, módulo que o vetor apresenta, enquanto que a sua inclinação informa a direção do mesmo.

Apresentação de valores

Dados dois pontos no espaço, $A$ e $B$, representados por $(x_a,y_a,z_a)$ e $(x_b,y_b,z_b)$ podemos representá-los sob a forma de um vetor efetuando a seguinte operação:

${\overrightarrow{v}}_{ab}=⟨x_b-x_a,y_b-y_a,z_b-z_a⟩$

Conceituação

Considerando que o ponto $A$ seja um vetor com relação à origem e o ponto $B$ esteja $\delta$ unidades distantes do anterior, podemos dizer que os componenetes dos vetores são $u_A=x_a,y_a,z_a$ e os de $B$ são $u_B=x_b,y_b,z_b$, temos que:

$u_B=u_A+u_{\delta }$

e

$u_{\delta }=u_B-u_A$

Sendo $u_A$ e $u_B$ vetores, $u_{\delta }$ também é a representação de um vetor, resultante da operação dos dois primeiros.

Norma

O vetor se apresenta como um conjunto de coordenadas que definem-se nos eixos como triângulos retângulos, podendo ser operados de forma a encontrar parâmetros que nos sejam úteis, um deles é a norma. Se queremos fazer uso do valor numérico associado à magnitude da grandeza expressa pelo vetor podemos calcular a norma ou módulo, que constitui um valor absoluto desta grandeza, para isto usamos a relação quadrática:

$|\overrightarrow{v}{|}^2={v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2$

O versor

Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.

O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:

Se $\overrightarrow{u}$ é o versor de $\overrightarrow{v}$, então:

$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}$

Isto se evidencia por:

$|\overrightarrow{u}|=\left|\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}\right|$

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{{\left(\frac{v_x}{|\overrightarrow{v}|}\right)}^2+{\left(\frac{v_y}{|\overrightarrow{v}|}\right)}^2+{\left(\frac{v_z}{|\overrightarrow{v}|}\right)}^2}$

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{|\overrightarrow{v}{|}^2}}$

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

$|\overrightarrow{u}|=1$

Versores primários

Os versores são úteis para diversas operações que veremos mais adiante, alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:

• $\overrightarrow{i}=⟨1,0,0⟩$
• $\overrightarrow{j}=⟨0,1,0⟩$
• $\overrightarrow{k}=⟨0,0,1⟩$

Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor $\overrightarrow{v}=⟨v_x,v_y,v_z⟩$, pode ser referenciado e operado na forma:

$\overrightarrow{v}=v_x\overrightarrow{i}+v_y\overrightarrow{j}+v_z\overrightarrow{k}$

O que poderemos constatar futuramente que é muito conveniente para certas operações algébricas.

Adição

Acima apresentamos uma síntese do que já conhecemos acerca da adição de dois vetores, o que nos resta é provar que isto é verdadeiro... A decomposição dos vetores em seus componentes horizontais e verticais, nos revela componentes de triângulos retângulos, nos quais podemos observar claramente a propriedade da adição dos vetores.

Observemos o gráfico:

Adição de vetores

. .

Podemos verificar que: $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ e que: $w_x=v_x+u_x$ assim como: $w_y=v_y+u_y$.

Logo temos que, dados dois vetores:

$\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}$

a sua adição resulta em:

$\overrightarrow{w}=⟨v_x+u_x,v_y+u_y⟩$ 

Expandindo para a forma tridimensional temos:

$\overrightarrow{w}=⟨v_x+u_x,v_y+u_y,v_z+u_z⟩$

Subtração

Da mesma forma que no caso anterior temos a subtração como já aprendemos, também podemos demonstrar esta propriedade usando a decomposição em triângulos retângulos:

Observemos o gráfico:

Subtração de vetores

. .

Podemos verificar que: $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$ e que: $w_x=v_x-u_x$ assim como: $w_y=v_y-u_y$.

Logo temos que, dados dois vetores:

$\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}$

a sua subtração resulta em:

$\overrightarrow{w}=⟨v_x-u_x,v_y-u_y⟩$ 

Expandindo para a forma tridimensional temos:

$\overrightarrow{w}=⟨v_x-u_x,v_y-u_y,v_z-u_z⟩$

Multiplicação por escalares

Definimos que se $c\in ℝ$ expressando apenas valor numérico, então o denominamos escalar.

O produto de um escalar por um vetor é encontrado pela notação:

$\overrightarrow{w}=c\overrightarrow{a}$

que operamos:

$\overrightarrow{w}=⟨c{a}_x,c{a}_y,c{a}_z⟩$

onde:

• $\overrightarrow{w}$ é o vetor resultante;
• $\overrightarrow{a}$ é o vetor parâmetro original;
• $c$ é o escalar.

Esta operação pode ser observada graficamente como abaixo podemos observar abaixo:

Note que todos os vetores gerados pela multiplicação por escalares são paralelos ao original, quando multiplicamos um vetor por $(-1)$ temos uma inversão de sentido e qualquer valor de escalar diferente de $1$ altera a magnitude do vetor.

Propriedades do produto por escalares

Nas operações abaixo notamos: $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ vetores em ${ℝ}^3$ além de $c,k$ escalares.

Propriedade	Operação
Elemento neutro da adição	$0+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$
Comutativa da adição	$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$
Associativa da adição	$\overrightarrow{v}+(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u})+\overrightarrow{w}$
Elemento oposto da adição	$\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{v})=0$
Associativa da multiplicação por escalares	$(ck)\overrightarrow{v}=c(k\overrightarrow{v})$
Distributiva (escalar para vetores)	$c(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u})=c\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{u}$
Distributiva (vetor para escalares)	$\overrightarrow{v}(c+k)=c\overrightarrow{v}+k\overrightarrow{v}$
Elemento neutro da multiplicação por escalares	$1\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$