Cálculo (Volume 1)/Conceitos básicos (funções)

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Conceitos básicos

Definições iniciais:

Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.

Função, domínio e imagem

Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em $ℝ\Rightarrow \{-\mathrm{\infty },\dots ,x_1,x_2,x_3,\dots ,+\mathrm{\infty }\}$, então tomamos $x$ e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em $ℝ$ e portanto dizemos que:

A é o domínio da variável $x$.

Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas $f$, quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a $f$, dizemos que:

B é função de A.

Sendo B obtido através das regras de $f$ :

A é domínio da função $f$.

Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por $f$, os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:

B é imagem da função $f$.

Extensões de domínios

Observemos a expressão: $\sqrt{12-x}$ Note que assim que atribuirmos valores a $x$ , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raízes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de $x$ , então teremos:

$\sqrt{12-x},x\le 12$

Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.

Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: $\log x$ , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:

$\log x,x>0$

Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuídos à variável, chamamos este de extremo aberto.

Notações

O conjunto de números B $\{-\mathrm{\infty },\dots ,y_1,y_2,y_3,\dots ,+\mathrm{\infty }\}$ dos quais $y_n$ dependem do conjunto A $\{-\mathrm{\infty },\dots ,x_1,x_2,x_3,\dots ,\mathrm{\infty }\}$ de onde temos $x_n$, estabelecemos o par de números $\{x_n,y_n\}$, ou simplesmente:

$(x,y)$ 

Este é chamado de par ordenado.

Sendo também $f$ a representação dos valores de $(x,y)$, então podemos dizer que:

$y=f(x)$

Sendo $f(x)$ o valor de $y$ quando definido pelas operações em $f$.

Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:

$-2<x<4;-12\le x<8$

Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:

$(-2,4);[-12,8)$

Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:

$]-2,4[;[-12,8[$

Operações com funções

Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$
$(f:g)(x)=f(x):g(x)$

Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre:

$D(f)\cap D(g)$