Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2)

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Trigonométricas II

Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.

Tangente e secante

Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por $[\cos (\alpha ),\text{sen}(\alpha )]$ e o valor inicial $(\mathrm{\Delta }x)$ é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:

$\text{tg}(x)=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

que é:

$\text{tg}(x)=\frac{\text{sen}(x)}{\cos (x)}$

Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?

Para definir h, a hipotenusa, façamos :

$h^2(x)=1^2+{\text{tg}}^2(x)$

$h^2(x)=1^2+\frac{{\text{sen}}^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

$h^2(x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\text{sen}}^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

Da identidade relacional temos:

$h^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

portanto:

$h(x)=\frac{1}{\cos (x)}$

Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:

$\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$

Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.

Identidades (2)

Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.

I-14 Relacionando tangente e secante

Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre $\text{tg}(x)e\sec (x)$ podemos afirmar que:

$1+{\text{tg}}^2(x)={\sec }^2(x)$

Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.

I-15 Tangente da diferença

Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:

$\text{tg}(a-b)=\frac{\text{tg}(a)-\text{tg}(b)}{1+\text{tg}(a)\text{tg}(b)}$

Comprovação:

Considerando a definição da tangente temos:

$\text{tg}(a-b)=\frac{\text{sen}(a-b)}{\cos (a-b)}$

$\text{tg}(a-b)=\frac{\text{sen}(a)\cos (b)-\text{sen}(b)\cos (a)}{\cos (a)\cos (b)+\text{sen}(a)\text{sen}(b)}$

$\text{tg}(a-b)=\frac{\frac{\text{sen}(a)\cos (b)}{\cos (a)\cos (b)}-\frac{\text{sen}(b)\cos (a)}{\cos (a)\cos (b)}}{\frac{\cos (a)\cos (b)}{\cos (a)\cos (b)}+\frac{\text{sen}(a)\text{sen}(b)}{\cos (a)\cos (b)}}$

$\text{tg}(a-b)=\frac{\frac{\text{sen}(a)}{\cos (a)}-\frac{\text{sen}(b)}{\cos (b)}}{1+\frac{\text{sen}(a)\text{sen}(b)}{\cos (a)\cos (b)}}$

$\text{tg}(a-b)=\frac{\frac{\text{sen}(a)}{\cos (a)}-\frac{\text{sen}(b)}{\cos (b)}}{1+\frac{\text{sen}(a)}{\cos (a)}\frac{\text{sen}(b)}{\cos (b)}}$

Resultando em:

$\text{tg}(a-b)=\frac{\text{tg}(a)-\text{tg}(b)}{1+\text{tg}(a)\text{tg}(b)}$

O que comprova a identidade.

I-16 Tangente da soma

$\text{tg}(a+b)=\frac{\text{tg}(a)+\text{tg}(b)}{1-\text{tg}(a)\text{tg}(b)}$

Comprovação:

Admitamos $b=-b$ e teremos pela tangente da diferença:

$\text{tg}(a-(-b))=\frac{\text{tg}(a)-\text{tg}(-b)}{1+\text{tg}(a)\text{tg}(-b)}$

Considerando que a tangente é:

$\text{tg}(x)=\frac{\text{sen}(x)}{\cos (x)}$

E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:

$\text{tg}(a+b)=\frac{\text{tg}(a)+\text{tg}(b)}{1-\text{tg}(a)\text{tg}(b)}$

O que comprova a identidade.

Derivada da tangente

Seja $f(x)=\text{tg}(x)$, uma função contínua em $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, visto que $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\text{tg}(x)\mathrm{\exists }$, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

$f(x)=\frac{\text{sen}(x)}{\cos (x)}$

logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:

$f{}^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\text{sen}(x)[-\text{sen}(x)]}{{\cos }^2(x)}$

$f{}^{\prime }(x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\text{sen}}^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

$f{}^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

Portanto:

$f{}^{\prime }(x)={\sec }^2(x)$

Derivada da secante

Seja $f(x)=\sec (x)$, uma função contínua em $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, visto que $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\sec (x)\mathrm{\exists }$, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

$f(x)=\frac{1}{\cos (x)}$

logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:

$f{}^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\cdot (0)-1\cdot (-\text{sen}(x))}{{\cos }^2(x)}$

$f{}^{\prime }(x)=\frac{\text{sen}(x)}{{\cos }^2(x)}$

$f{}^{\prime }(x)=\frac{\text{sen}(x)}{\cos (x)}\cdot \frac{1}{\cos (x)}$

O que nos revela:

$f{}^{\prime }(x)=\text{tg}(x)\sec (x)$

Integral da tangente

Seja a função $f(x)=\text{tg}(x)$, definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:

$F(x)=\int \text{tg}(x)dx$

$F(x)=\int \frac{\text{sen}(x)}{\cos (x)}dx$

Por outro lado, se:

$u=\cos (x)$

$du=-\text{sen}(x)dx$

O que nos possibilita afirmar que:

$F(x)=-\int \frac{du}{u}$

$F(x)=-\ln |\cos (x)|$

$F(x)=\ln \left|\frac{1}{\cos (x)}\right|$

Portanto:

$F(x)=\ln |\sec (x)|+C$

Integral da secante

Seja a função $f(x)=\sec (x)$, dizemos que sua integral é a função $F(x)$ e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:

$F(x)=\int \sec (x)dx$

multiplicando e dividindo $\sec (x)+\text{tg}(x)$:

$F(x)=\int \frac{{\sec }^2(x)+\sec (x)\text{tg}(x)}{\sec (x)+\text{tg}(x)}dx$

Por outro lado, se:

$u=\sec (x)+\text{tg}(x)$,

$du=[\sec (x)\text{tg}(x)+{\sec }^2(x)]dx$

logo, por substituição, temos:

$\int \frac{du}{u}$, sendo $u=\sec (x)+\text{tg}(x)$, o que nos permite fazer:

$F(x)=\ln |u|$

Portanto:

$F(x)=\ln |\sec (x)+\text{tg}(x)|+C$

Cotangente e cossecante

Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:

Figura 8

Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.

Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:

$\frac{1}{\text{cotg}(x)}=\frac{\text{sen}(x)}{\cos (x)}$

O que nos revela:

$\text{cotg}(x)=\frac{\cos (x)}{\text{sen}(x)}$

Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:

$\frac{1}{\text{cosec}(x)}=\frac{\cos (x)}{\text{cotg}(x)}$

$\frac{1}{\text{cosec}(x)}=\cos (x)\frac{\text{sen}(x)}{\cos (x)}$

Que define a cossecante como:

$\text{cosec}(x)=\frac{1}{\text{sen}(x)}$

Identidades (3)

Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.

Conseqüentes das definições:

$\text{sen}(x)\text{cosec}(x)=1$

$\cos (x)\sec (x)=1$

$\text{tg}(x)\text{cotg}(x)=1$

Derivada da cotangente

Seja a função $f(x)=\text{cotg}(x)$, considerando que:

$f(x)=\frac{\cos (x)}{\text{sen}(x)}$

Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:

$f{}^{\prime }(x)=\frac{\text{sen}(x)[-\text{sen}(x)]-\cos (x)\cos (x)}{{\text{sen}}^2(x)}$

$f{}^{\prime }(x)=-\frac{{\text{sen}}^2(x)+co{s}^2(x)}{{\text{sen}}^2(x)}$

$f{}^{\prime }(x)=-\frac{1}{{\text{sen}}^2(x)}$

Portanto:

$f{}^{\prime }(x)=-{\text{cosec}}^2(x)$

Derivada da cossecante

Seja a função $f(x)=\text{cosec}(x)$, considerando que:

$f(x)=\frac{1}{\text{sen}(x)}$

Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:

$f{}^{\prime }(x)=\frac{\text{sen}(x)\cdot 0-1\cdot \cos (x)}{{\text{sen}}^2(x)}$

$f{}^{\prime }(x)=\frac{-\cos (x)}{\text{sen}(x)}\cdot \frac{1}{\text{sen}(x)}$

Portanto:

$f{}^{\prime }(x)=-\text{cotg}(x)\text{cosec}(x)$

Integral da cotangente

Seja a função $f(x)=\text{cotg}(x)$, considerando que:

$f(x)=\frac{\cos (x)}{\text{sen}(x)}$

Sua integral é:

$F(x)=\int \text{cotg}(x)dx$

$F(x)=\int \frac{\cos (x)}{\text{sen}(x)}dx$

Sendo $u=\text{sen}(x)$:

$du=\cos (x)dx$

Logo:

$F(x)=\int \frac{du}{u}$

E, por substituição:

$F(x)=\ln |\text{sen}(x)|+C$

Integral da cossecante

Seja a função $f(x)=\text{cosec}(x)$,

Sua integral é:

$F(x)=\int \text{cosec}(x)dx$

Sendo $u=\text{cotg}(x)-\text{cosec}(x)$:

$du=[-{\text{cosec}}^2(x)+\text{cotg}(x)\text{cosec}(x)]dx$

Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:

$F(x)=\int \frac{-{\text{cosec}}^2(x)+\text{cotg}(x)\text{cosec}(x)}{\text{cotg}(x)-\text{cosec}(x)}dx$

Logo:

$F(x)=\int \frac{du}{u}$

E, por substituição:

$F(x)=\ln |\text{cotg}(x)-\text{cosec}(x)|+C$

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Inversas das trigonométricas

O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?

A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a $arcfunc(x)$ é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.

arcseno e arccosseno

Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:

1. O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.

O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: $[0,\pi ]$ também apresenta valores únicos para cada arco tomado.

Assim, dizemos que:

$y=\text{arcsen}(x)\mathrm{\exists }\mathrm{\forall }x=\text{sen}(y)\wedge y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

Da mesma forma que:

$y=\text{arccos}(x)\mathrm{\exists }\mathrm{\forall }x=\cos (y)\wedge y\in [0,\pi ]$

Derivadas do arcseno e arccosseno

Seja a função $y=\text{arcsen}(x)$, sendo a sua inversa:

$x=\text{sen}(y)$,

podemos operá-la desta forma:

$dx=\cos (y)dy$

$\frac{dx}{dy}=\cos (y)$,

Por outro lado:

${\text{sen}}^2(y)+{\cos }^2(y)=1$

$\cos (y)=\sqrt{1-{\text{sen}}^2(y)}$

$\cos (y)=\sqrt{1-x^2}$

O que nos dá:

$\frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}$,

Logo:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Ainda temos que a função $z=\text{arccos}(x)$, sendo a sua inversa:

$x=\cos (z)$,

podemos operá-la desta forma:

$dx=-\text{sen}(z)dz$

$\frac{dx}{dz}=-\text{sen}(z)$,

Por outro lado:

${\text{sen}}^2(z)+{\cos }^2(z)=1$

$\text{sen}(z)=\sqrt{1-{\cos }^2(z)}$

$\text{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}$

O que nos dá:

$\frac{dx}{dz}=-\sqrt{1-x^2}$,

Logo:

$\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Integrais do arcseno e arccosseno

Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

Arctangente e arccotangente

Definimos a função:

$y=arctg(x)$,

arctangente de x, como a inversa da função:

$x=tg(y)$, 

tangente de y, para todo o intervalo $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.

Do mesmo modo podemos definir a função:

$z=arccotg(t)$,

arccotangente de t, como a inversa da função:

$t=cotg(z)$,

cotangente de z, para todo o intervalo $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.

Derivadas da arctangente e arccotangente

Seja a função $y=arctg(x)$, sendo a sua inversa:

$x=tg(y)$,

podemos operá-la desta forma:

$dx=se{c}^2(y)dy$

$\frac{dx}{dy}=se{c}^2(y)$,

Por outro lado:

$se{c}^2(y)=1+t{g}^2(y)$

$se{c}^2(y)=1+x^2$

O que nos dá:

$\frac{dx}{dy}=1+x^2$,

Logo:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$

Ainda temos que a função $z=arccotg(x)$, sendo a sua inversa:

$x=cotg(z)$.

Por outro lado:

$arccotg(z)=\frac{\pi }{2}-arctg(z)$

O que nos dá:

$\frac{dz}{dx}=0-\frac{d[arctg(z)]}{dx}$,

Logo:

$\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$

Integrais da arctangente e arccotangente

Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

Arcsecante e arccossecante

Definimos a função:

$y=\text{arcsec}(x)$,

arcsecante de x, como a inversa da função:

$x=\sec (y)$, 

secante de y, para os intervalos de x: $(-\mathrm{\infty },-1];[1,\mathrm{\infty })$, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função $\text{arcsec}(x)$ é relacionada a função $\text{arccos}(x)$ como segue:

$\text{arcsec}(x)=\text{arccos}\left(\frac{1}{x}\right)$

Do mesmo modo podemos definir a função:

$z=\text{arccosec}(t)$,

arccosecante de t, como a inversa da função:

$t=\text{cosec}(z)$,

cosecante de y, para os intervalos de x: $(-\mathrm{\infty },-1];[1,\mathrm{\infty })$, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função $\text{arccosec}(x)$ é relacionada a função $\text{arcsen}(x)$ como segue:

$\text{arcsec}(x)=\text{arcsen}\left(\frac{1}{x}\right)$

Derivadas da arcsecante e arccossecante

Seja a função:

$y=\text{arcsec}(x)$

que tem correspondência em:

$\text{arcsec}(x)=\text{arccos}\left(\frac{1}{x}\right)$

Sendo:

$\frac{d[\text{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\left(\frac{dt}{dx}\right)$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}(-\frac{1}{x^2})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}}$

Portanto:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

para $|x|>1$

Integrais da arcsecante e arccossecante

Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

Trigonométricas inversas como integrais algébricas

Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsen}(x)+C$

$\int \frac{dx}{1+x^2}=\text{arctg}(x)+C$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\text{arcsec}(|x|)+C$

Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.

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hiperbólicas

A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais $e^x$ e $e^{-x}$, as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.

As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.

Seno e cosseno hiperbólicos

A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole $y=\frac{1}{2x}$, onde encontramos:

$\text{senh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:

$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Sendo obtida de forma similar a anterior.

O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente $e^x$ e uma exponencial decrescente $e^{-x}$ lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.

Relacionando seno e cosseno hiperbólico

Considere a operação: ${\cosh }^2(x)-{\text{senh}}^2(x)$,

Da definição temos:

${\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2$

$\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^x{e}^{-x}}{4}-\frac{e^{2x}+e^{-2x}-2e^x{e}^{-x}}{4}$

$\frac{e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}+4}{4}$

$\frac{4}{4}$

logo:

${\cosh }^2(x)-{\text{senh}}^2(x)=1$

Derivada do seno hiperbólico

Seja a função seno hiperbólico $y=\text{senh}(x)$, podemos dizer que:

$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

sendo:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(e^x-(-e^{-x}))$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$

Portanto:

$\frac{dy}{dx}=\cosh (x)$

Derivada do cosseno hiperbólico

Seja a função cosseno hiperbólico $y=\cosh (x)$, podemos dizer que:

$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

sendo:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(e^x+(-e^{-x}))$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

Portanto:

$\frac{dy}{dx}=\text{senh}(x)$

Integral do seno hiperbólico

A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

$\int \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)dx$

$\int \frac{1}{2}{e}^{x}dx-\int \frac{1}{2}{e}^{-x}dx$

$\frac{1}{2}{e}^x+\frac{1}{2}{e}^{-x}$

$\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Concluimos que:

$\int \text{senh}(x)=\cosh (x)+C$

Integral do cosseno hiperbólico

A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

$\int \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)dx$

$\int \frac{1}{2}{e}^{x}dx+\int \frac{1}{2}{e}^{-x}dx$

$\frac{1}{2}{e}^x-\frac{1}{2}{e}^{-x}$

$\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

Concluimos que:

$\int \cosh (x)=\text{senh}(x)+C$

Tangente e secante hiperbólicas

Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:

$\text{tgh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

ou

$\text{tgh}(x)=\frac{\text{senh}(x)}{\cosh (x)}$

A secante hiperbólica é definida como:

$\text{sech}(x)=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$

ou

$\text{sech}(x)=\frac{1}{\cosh (x)}$

Relacionando tangente e secante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

$1-{\text{tgh}}^2(x)$

$1-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)}^2$

$1-\frac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{e^{2x}+e^{-2x}+2}$

$\frac{e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}+4}{e^{2x}+e^{-2x}+2}$

$\frac{4}{{(e^x+e^{-x})}^2}$

$\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$

Portanto:

$1-{\text{tgh}}^2(x)={\text{sech}}^2(x)$

Derivada da tangente hiperbólica

Seja a função $y=\text{tgh}(x)$, temos:

$y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})}{{(e^x+e^{-x})}^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{({\cosh }^2(x))-({\text{senh}}^2(x))}{({\cosh }^2(x))}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$

Portanto:

$\frac{dy}{dx}={\text{sech}}^2(x)$

Derivada da secante hiperbólica

Seja a função $y=\text{sech}(x)$, temos:

$y=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2(e^x-e^{-x})}{{(e^x+e^{-x})}^2}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^x+e^{-x}}\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

e finalmente:

$\frac{dy}{dx}=-\text{sech}(x)\text{tgh}(x)$

Integral da tangente hiperbólica

Seja a função $f(x)=\text{tgh}(x)$, temos:

$F(x)=\int \frac{\text{senh}(x)}{\cosh (x)}dx$

Se fizermos:

$u=\cosh (x)$

$du=\text{senh}(x)dx$

verificamos:

$F(x)=\int \frac{du}{u}$

$F(x)=\ln |u|$

e finalmente:

$F(x)=\ln |\cosh (x)|+C$

Integral da secante hiperbólica

Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

Cotangente e cossecante hiperbólicas

A cotangente hiperbólica é definida como:

$\text{cotgh}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

ou

$\text{cotgh}(x)=\frac{\cosh (x)}{\text{senh}(x)}$

A cosecante hiperbólica é definida como:

$\text{cosech}(x)=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$

ou

$\text{cosech}(x)=\frac{1}{\text{senh}(x)}$

Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

$1-{\text{cotgh}}^2(x)$

$1-{\left(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\right)}^2$

$1-\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{e^{2x}+e^{-2x}-2}$

$\frac{e^{2x}-e^{2x}+e^{-2x}-e^{-2x}-4}{e^{2x}+e^{-2x}-2}$

$-\frac{4}{{(e^x-e^{-x})}^2}$

$-\frac{1}{{\text{senh}}^2(x)}$

Portanto:

$1-{\text{cotgh}}^2(x)={\text{cosech}}^2(x)$

Derivada da cotangente hiperbólica

Seja a função $y=\text{cotgh}(x)$, temos:

$y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})-(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})}{{(e^x-e^{-x})}^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{({\text{senh}}^2(x))-(cos{h}^2(x))}{({\text{senh}}^2(x))}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{{\text{senh}}^2(x)}$

Portanto:

$\frac{dy}{dx}=-{\text{cosech}}^2(x)$

Derivada da cossecante hiperbólica

Seja a função $y=\text{cosech}(x)$, temos:

$y=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2(e^x+e^{-x})}{{(e^x-e^{-x})}^2}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^x-e^{-x}}\cdot \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

e finalmente:

$\frac{dy}{dx}=-\text{cosech}(x)\text{cotgh}(x)$

Integral da cotangente hiperbólica

Seja a função $f(x)=\text{cotgh}(x)$, temos:

$F(x)=\int \frac{\cosh (x)}{\text{senh}(x)}dx$

Se fizermos:

$u=\text{senh}(x)$

$du=\cosh (x)dx$

verificamos:

$F(x)=\int \frac{du}{u}$

$F(x)=\ln |u|$

e finalmente:

$F(x)=\ln |\text{senh}(x)|+C$

Integral da cossecante hiperbólica

Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

Inversas das hiperbólicas

As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.

Análise da inversão das variáveis

As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:

$y=funch(x)$,

Para a forma:

$x=argfunch(y)$

Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo $senh(x)$, que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.

É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.

argsenh e argcosenh

Agora consideremos a função $t=\text{senh}(x)$, então:

$t=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

Podemos fazer $e^x=u$, logo:

$t=\frac{u-u^{-1}}{2}$

O que resulta na equação:

$u^2-2tu-1=0$

cujas raízes são:

$u=t\pm \sqrt{t^2+1}$

Podemos apenas admitir: $u>0$, consequentemente:

$e^x=t+\sqrt{t^2+1}$

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de $senh(x)$ que é:

$\text{argsenh}(x)=\ln |x+\sqrt{x^2+1}|$

No caso de $t=\cosh (x)$, a dedução é similar:

$t=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Podemos fazer $e^x=u$, logo:

$t=\frac{u+u^{-1}}{2}$

O que resulta na equação:

$u^2-2tu+1=0$

cujas raízes são:

$u=t\pm \sqrt{t^2-1}$

Podemos apenas admitir: $u>0$, consequentemente:

$e^x=t+\sqrt{t^2-1}$

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de $cosh(x)$ que é:

$\text{argcosh}(x)=\ln |x+\sqrt{x^2-1}|$,   $|x|>1$

Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)

Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:

$y=\text{argsenh}(x)=\ln |x+\sqrt{x^2+1}|$

de onde deduzimos:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \left(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right)$

resultando:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

---

E para $y=\text{argcosh}(x)=\ln |x+\sqrt{x^2-1}|$

de onde deduzimos:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\cdot (1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\cdot \left(\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}\right)$

e finalmente:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$,   $|x|>1$

Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

argtgh e argsech

Considerando $t=\text{tgh}(x)$, temos:

$t=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

se $u=e^x$:

$t=\frac{u-u^{-1}}{u+u^{-1}}$

o que resulta na equação:

$(t-1)u^2+t+1=0$

cujas raízes são:

$u=\pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}$

Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $t<1$:

$e^x=\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

Que é a inversa da $\text{tgh}(x)$, portanto:

$\text{argtgh}(x)=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$,    $|x|<1$

Ou,

$\text{argtgh}(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$,    $|x|<1$

---

Considerando $t=\text{sech}(x)$, temos:

$t=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$

se $u=e^x$:

$t=\frac{2}{u+u^{-1}}$

o que resulta na equação:

$t{u}^2-2u+t=0$

Cujas raízes são:

$u=\frac{1\pm \sqrt{1-t^2}}{t}$

Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $0<t<1$:

$e^x=\frac{1-\sqrt{1-t^2}}{t}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|$

Que é a inversa da $sech(x)$, portanto:

$\text{argsech}(x)=\ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|$,   $0<x<1$

Derivadas de argtgh e argsech

Seja $y=\text{argtgh}(x)$ $=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$, $|x|<1$

Deduzimos que sua derivada é:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d[\text{argtgh}(x)]}{dx}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\left[\frac{1-x-(1+x)(-1)}{(1-x{)}^2}\right]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\left[\frac{2}{(1-x{)}^2}\right]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{(1+x)(1-x)}\right]$

e, finalmente:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-x^2}$,   $|x|<1$

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio.

---

Seja $y=\text{argsech}(x)$ $=\ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|$,

Deduzimos que sua derivada é:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d[\text{argsenh}(x)]}{dx}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}}\left[\frac{x\frac{-(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}-(1-\sqrt{1-x^2})}{x^2}\right]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{x^2-\sqrt{1-x^2}+1-x^2}{x^2\sqrt{1-x^2}}\right)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\right)$

e, finalmente:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

Integrais de argtgh e argsech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

argcotgh e argcosech

Considerando $t=\text{cotgh}(x)$, temos:

$t=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

se $u=e^x$:

$t=\frac{u+u^{-1}}{u-u^{-1}}$

o que resulta na equação:

$(1-t)u^2-t-1=0$

cujas raízes são:

$u=\pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}$

Onde apenas podemos admitir $u>0$ e $t<1$:

$e^x=\sqrt{\frac{t+1}{t-1}}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$

Que é a inversa da $\text{cotgh}(x)$, portanto:

$\text{argcotgh}(x)=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$,   $|x|>1$

Ou,

$\text{argcotgh}(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$,   $|x|>1$

---

Considerando $t=\text{cosech}(x)$, temos:

$t=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$

se $u=e^x$:

$t=\frac{2}{u-u^{-1}}$

o que resulta na equação:

$t{u}^2-2u-t=0$

Cujas raízes são:

$u=\frac{1\pm \sqrt{1+t^2}}{t}$

Onde apenas podemos admitir $u>0$:

$e^x=\frac{1-\sqrt{1+t^2}}{t}$

Substituindo x por y e t por x:

$y=\ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|$

Que é a inversa da $cosech(x)$, portanto:

$\text{argcosech}(x)=\ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|$

Derivadas de argcotgh e argcosech

Seja $y=\text{argcotgh}(x)$ $=\frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}$, $|x|>1$

Deduzimos que sua derivada é:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d[\text{argcotgh}(x)]}{dx}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\left[\frac{x+1-(x-1)}{(x+1{)}^2}\right]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\left[\frac{2}{(x+1{)}^2}\right]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{(x-1)(x+1)}\right]$

e, finalmente:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-x^2}$,   $|x|>1$

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.

---

Seja $y=\text{argcosech}(x)$ $=\ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|$,

Deduzimos que sua derivada é:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d[\text{argcosh}(x)]}{dx}$

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}}\left[\frac{x\frac{-2x}{2\sqrt{1+x^2}}-(1-\sqrt{1+x^2})}{x^2}\right]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}}\left(\frac{-x^2-\sqrt{1+x^2}+1+x^2}{x^2\sqrt{1+x^2}}\right)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}}\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x^2\sqrt{1+x^2}}\right)$

e, finalmente:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$,   $x\ne 0$

Integrais de argcotgh e argcosech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.