Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (1)

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

O estudo das funções deste capítulo refere-se às funções não puramente algébricas, relacionadas a números transcendentais, algumas das quais já conhecemos da matemática elementar, porém é necessário um aprofundamento do tema para o ambiente acadêmico, onde temos que lidar com análises mais detalhadas e complexas.

Logarítmicas

A integral da função algébrica $f(x)=x^n$ traz uma indefinição quando $n=-1$:

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1};n\ne -1$

A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: $f(x)=\frac{1}{x}$? A resposta é dada na análise numérica, calculando a integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar a seguinte conclusão:

${\int }_1^x\frac{1}{t}dt=\ln |x|$

A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de [[../Análise de funções elementares (1)#O número de Euler|número de Euler]], ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função $f(x)=\frac{1}{x}$, que pode ser obtido numericamente usando a integral de Riemann e outras técnicas de cálculo numérico. Aproximações deste número são possíveis utilizando-se técnicas de aproximações sucessivas com o uso de séries, discutidas em Cálculo (Volume 3).

Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano.

Teoremas

Vejamos os principais teoremas para os logaritmos:

Nas citações abaixo, consideremos $f(x)=\ln x$,

T36 - Produto

$\ln a\cdot b=\ln a+\ln b$

Comprovação:

Da definição:

${\int }_1^{ab}\frac{1}{u}du$

${\int }_1^a\frac{1}{u}du+{\int }_a^{ab}\frac{1}{u}du$

fazendo $u=at,du=adt$ e quando $u=a,t=1$:

${\int }_1^a\frac{1}{u}du+{\int }_1^b\frac{1}{at}adt$

${\int }_1^a\frac{1}{u}du+{\int }_1^b\frac{1}{t}dt$

O que comprova o teorema.

T37 - Razão

$\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$

Comprovação:

Sendo $a=\frac{a}{b}\cdot b$:

$\ln a=\ln \frac{a}{b}\cdot b$

$\ln a=\ln \frac{a}{b}+\ln b$

logo:

$\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$

T38 - Potência

$\ln a^b=b\cdot \ln a$

Comprovação:

Sendo:

$\ln a^b=\ln (a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\dots )$ -> b vezes, que é:

$\ln a^b=\ln a+\ln a+\ln a+\ln a+\ln a+\ln a+\ln a+\ln a\dots )$ -> b vezes, resultando:

$\ln a^b=b\cdot \ln a$

Derivadas

Da definição do logarítmo natural e a partir do [[../Integrais#Teorema fundamental do cálculo|teorema fundamental do cálculo]], podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se $f(x)=\ln x$ que é a integral definida de $\frac{1}{x}$, então a derivada é:

$\frac{df(x)}{dx}=\frac{1}{x}$

Integrais

Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

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Exponenciais

A função $f(x)=a^x$ é chamada de função exponencial na base a, todas as funções exponenciais são introduzidas a partir da definição do logaritmo natural ln x como sua função inversa. As funções exponenciais são estas em que a parte variável é o logaritmo, ou seja:

Se ${\log }_{a}b=x$

então:

$a^x=b$

O que implica $b=f(x)$, tornando-o uma função, na qual podemos atribuir valores a x e obter uma imagem. O número a é chamado base, este número é facilmente identificado nos logaritmos convencionalmente abordados na matemática elementar, mas qual é a base da função $\ln x$ ?

Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, o número de Euler.

O número de Euler

A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: e, ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: $f(x)=\frac{1}{x}$, quando seu valor é unitário, ou seja:

$\ln e=1$,

mais formalmente:

${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=1$

O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: Cálculo (Volume 3).

A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$

Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de n mais preciso se torna o valor de e.

De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:

Se $f(x)=\ln x$ então $f{}^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, logo: $f{}^{\prime }(1)=1$

Por outro lado, pela definição:

$f{}^{\prime }(x)=\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{\ln (x+\alpha )-\ln x}{\alpha }$

Para $f{}^{\prime }(1)=1$:

$1=\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{\ln (1+\alpha )-\ln 1}{\alpha }$

$1=\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{\ln (1+\alpha )}{\alpha }$

$1=\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{1}{\alpha }\ln (1+\alpha )$

$1=\underset{\alpha \to 0}{lim}\ln (1+\alpha {)}^{\frac{1}{\alpha }}$

$e=\underset{\alpha \to 0}{lim}(1+\alpha {)}^{\frac{1}{\alpha }}$

Sendo: $\alpha =\frac{1}{n}$ e $\underset{\alpha \to 0}{lim}\alpha =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}$

Concluimos que:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$

Teoremas

A maioria dos teoremas relacionados, têm origem nas conclusões obtidas no estudo do logarítmo natural, dos quais relacionamos os mais usados:

T39 - Soma

Seja a função $f(x,y)=e^{x+y}$, pode-se afirmar que:

$f(x,y)=e^x\cdot e^y$

Comprovação:

Considerando: $x=\ln a$ e $y=\ln b$,

$x+y=\ln a+\ln b$

$x+y=\ln ab$

logo:

$e^{x+y}=e^{\ln ab}$

$e^{x+y}=ab$

sendo: $a=e^x$ e $b=e^y$,

$e^{x+y}=e^x\cdot e^y$

O que comprova o teorema.

T40 - Subtração

De forma similar à análise anterior, sendo a função $f(x,y)=e^{x-y}$, pode-se afirmar que:

$f(x,y)=\frac{e^x}{e^y}$

Comprovação:

Considerando: $x=\ln a$ e $y=\ln b$,

$x-y=\ln a-\ln b$

$x-y=\ln \frac{a}{b}$

logo:

$e^{x-y}=e^{\ln \frac{a}{b}}$

$e^{x-y}=\frac{a}{b}$

sendo: $a=e^x$ e $b=e^y$,

$e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$

O que comprova o teorema.

T41 - Potência

Seja a função $f(x,y)={\left(e^x\right)}^y$, pode-se afirmar que:

$f(x,y)=e^{xy}$

Comprovação:

$f(x,y)=(e^x{)}^y$

$f(x,y)=e^{{\ln (e^x)}^y}$

$f(x,y)=e^{y\cdot \ln (e^x)}$

$f(x,y)=e^{y\cdot x}$

O que comprova o teorema.

Derivadas

Consideremos que $f(x)=e^x$, e conseqüentemente: $x=\ln f(x)$, se derivarmos implicitamente este expressão:

$dx=\frac{1}{f(x)}df(x)$

Curiosamente, teremos:

$f(x)=\frac{df(x)}{dx}$

$f(x)=f{}^{\prime }(x)$

Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções.

Por outro lado se $f(x)=a^x$, temos que:

$a=e^{\ln a}$

Fazendo $u=x\cdot \ln a$ e $f(x)=e^u$, teremos:

$f{}^{\prime }(x)=e^u\cdot \frac{du}{\text{d}x}$

Se $\frac{du}{\text{d}x}=\ln a$, concluimos que:

$f{}^{\prime }(x)=a^x\cdot \ln a$

Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base.

Integrais

Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural $f(x)=e^x$ é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta.

Desta forma, temos:

$\int e^{x}dx=e^x+C$, 

Sendo C constante.

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Logarítmicas com outras bases

Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma:

Se $x=a^n$ então,

${\log }_{a}x=n$

Onde: a é chamada base do logaritmo, x é o logaritmando e n é o expoente.

O logaritmo é, portanto, a operação pela qual se obtém o expoente necessário para que a base seja elevada, numa operação exponencial e se obtenha o número x.

A função logarítmica de base a pode ser expressa da seguinte forma:

$f(x)={\log }_{a}x$

O que nos possibilita encontrar um valor para cada x expresso na equação.

Mudança de base

Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base a e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer:

Seja a função $y={\log }_{a}x$, podemos dizer que:

$x=e^{\ln x}$ e que $a=e^{\ln a}$,

como: $x=a^y$,

$x=(e^{\ln a}{)}^y$,

$x=e^{y\cdot \ln a}$,

$\ln x=y\cdot \ln a$,

O que nos possibilita afirmar que:

$y=\frac{\ln x}{\ln a}$,

ou

${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$.

Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir $\ln x$ por ${\log }_{z}x$ sendo z a base que substituirá e na análise anterior.

O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: a e b, podemos promover a troca das bases, de forma que:

${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$

Derivadas

A derivada da função logarítmica com base diferente de e pode ser feita por substituição da base. Considerando $f(x)={\log }_{a}x$, temos que:

${\log }_{a}x=\frac{1}{\ln a}\cdot \ln x$,

$f(x)=\frac{1}{\ln a}\cdot \ln x$,

logo:

$f{}^{\prime }(x)=\frac{d(\frac{1}{\ln a}\cdot \ln x)}{dx}$

$f{}^{\prime }(x)=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d(\ln x)}{dx}$

$f{}^{\prime }(x)=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{x}$

Que nos dá a derivada:

$f{}^{\prime }(x)=\frac{1}{x\cdot \ln a}$

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Trigonométricas I

A trigonometria, tal qual vista na matemática elementar, está relacionada com as relações métricas do triângulo retângulo e do ciclo trigonométrico, agora introduziremos o estudo infinitesimal das funções trigonométricas que são largamente utilizadas nas ciências exatas.

Conceitos básicos (Radianos)

Em um plano definido pelos eixos x e y podemos estabelecer coordenadas cartesianas para cada ponto, o que nos permite identificar cada um dos pontos em qualquer posição do plano, existe outra maneira de encontrar um ponto neste plano; se quisermos estabelecer uma relação triangular podemos determinar a posição de cada ponto no plano da seguinte forma:

Figura 5

Imagine que cada ponto está numa distãncia R do ponto $(0,0)$ em um plano cartesiano definido por pontos $(x,y)$, da mesma forma a reta R, que é definida entre os pontos $(0,0)\to (x,y)$, forma um ângulo com o eixo x, que chamaremos de $\alpha$, note que podemos identificar qualquer dos pontos no plano a partir de uma reta R e um ângulo $\alpha$.

Observemos que R, quando fixa, é uma reta que determina um conjunto de pontos em torno do ponto $(0,0)$, se fizermos $\alpha$ variar em todos os valores possíveis teremos uma circunferência. Quando fazemos o valor de R variar teremos diferentes valores de x e y, porém a relação entre eles sempre será a mesma.

Curiosamente, há uma relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro, ela se apresenta constante qualquer que seja o raio do círculo; o resultado desta relação é um número transcedental chamado PI, representado pela letra grega de mesmo nome: $\pi$. Resgatando esta relação para a nossa análise podemos dizer que, se chamarmos o perímetro da circunferência, formada no gráfico, de $l$ e admitirmos um diâmetro de $2R$, então teremos:

$\frac{l}{2R}=\pi$

Que resulta em:

$l=2\pi R$

Que é uma relação bastante esclarecedora, visto que nos mostra uma dependência linear entre o raio e o comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir o contorno da circunferência do gráfico. Se o raio for unitário teremos um valor de referência para l, que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico, bastando para isto multiplicá-lo pelo raio, este valor de referência está ligado à circunferência fechada. Por outro lado, se fizermos com que R se desloque de um ângulo nulo, ou seja, que saia do eixo x em direção a y, formando um ângulo $\alpha$, teremos pedaços de circunferência, que chamamos de arcos, considerando que temos um raio unitário e que percorremos um pedaço da circunferência para cada ângulo "$\alpha$" que tomamos, temos uma correspondência entre ângulo e arco, ou seja: podemos nos referir a arcos como unidades de ângulos, esta unidade angular é chamada de Radiano. Qualquer círculo forma $2\pi$ radianos e todas as relações entre os pontos da circunferência que o contorna e os eixos cartesianos podem ser referenciadas como relações entre partes desta medida.

Como o radiano é uma medida real, isto nos leva a outra questão: O que determina o sinal negativo ou positivo neste valor?

Acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto a outro da circunferência, quando saimos do eixo x em direção ao ponto $P_1$ o ângulo cresce, portanto temos que concluir que é positivo, recuando-o ao encontro do eixo x os valores diminuem, portanto se ultrapassarmos o eixo x o valor deve ser menor que zero, nos revelando um ângulo negativo.

Seno e cosseno

Temos, portanto, uma circunferência dentro do plano cartesiano e seus pontos relacionados ao raio R e ao ângulo $\alpha$, são referenciados pelas variáveis x e y no mesmo plano, agora imaginemos funções para que seja possível a partir do raio e do ângulo encontrar as variáveis, estas funções são o seno e o cosseno.

A função seno, simbolizada como:

$\text{sen}(\alpha )$

Nos dá o valor da variável y, ou seja, a altura do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo y, quando o raio R é unitário, caso não seja fazemos $y=R\text{sen}(\alpha )$.

A função cosseno, simbolizada como:

$\cos (\alpha )$

Nos dá o valor da variável x, ou seja, a distância do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo xquando o raio R é unitário, caso não seja fazemos $x=R\cos (\alpha )$.

As funções seno e cosseno são periódicas, ou seja, pela natureza do ciclo trigonométrico, quando temos um valor em x maior que $2\pi$ temos a representação de um ciclo completo mais um ângulo residual, na verdade o valor representa este ângulo residual, o que nos leva a constatação que sempre será calculado o valor do seno ou cosseno do resto da operação $\frac{x}{2\pi }$ quando um ângulo maior que $2\pi$ for sugerido para x.

Alguns valores de senos e cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo, são eles:

Senos e cossenos notáveis

Ângulo	0	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$
$\text{sen}(x)$	0	1	0	-1
$\cos (x)$	1	0	-1	0

Observando o gráfico podemos também concluir que o sinal do seno é idêntico ao sinal do ângulo, enquanto que o cosseno não acompanha o sinal do ângulo, de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais a cossenos dos valores absolutos dos ângulos, ou seja:

sendo $a>0$,

$\text{sen}(-a)=-\text{sen}(a)$

enquanto que:

$\cos (-a)=\cos (a)$

Outros senos e cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo e são largamente utilizados, são:

Senos e cossenos mais comuns

Ângulo	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\frac{7\pi }{6}$	$\frac{5\pi }{4}$	$\frac{4\pi }{3}$	$\frac{5\pi }{3}$	$\frac{7\pi }{4}$	$\frac{11\pi }{6}$
$\text{sen}(x)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\cos (x)$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Identidades (1)

As equações desta seção são conseqüência das características dos senos e cossenos, seu comportamento cíclico e sua relação com uma circunferência de raio unitário lhes conferem uma excelente operatividade, possibilitando-nos fácil intercâmbio entre as mesmas.

I-1 Identidade relacional básica

As funções seno e cosseno estão relacionadas pela equação:

$se{n}^2(a)+co{s}^2(a)=1$

Comprovação:

Observando o ciclo trigonométrico, temos um triângulo cujos catetos são: $\text{sen}(a)$ e $\cos (a)$ e sua hipotenusa é 1, portanto a identidade é conseqüente do conhecido teorema de Pitágoras.

I-2 Cosseno da soma

Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua soma é:

$\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)$

Comprovação:

Nos pontos A e B do ciclo trigonométrico, temos os arcos para os ângulos a e b:

Figura 6

A distância entre os pontos P e (A+B) é igual à distância entre -A e B, o quadrado das duas é:

$[\cos (a+b)-1{]}^2+se{n}^2(a+b)=[\cos (b)-\cos (-a){]}^2+[\text{sen}(b)-\text{sen}(-a){]}^2$

Da identidade básica:

$co{s}^2(a+b)-2\cos (a+b)+1+se{n}^2(a+b)=co{s}^2(b)-2\cos (-a)\cos (b)+co{s}^2(-a)+se{n}^2(b)-2\text{sen}(-a)\text{sen}(b)+se{n}^2(-a)$

$co{s}^2(a+b)-2\cos (a+b)+1+1-co{s}^2(a+b)=co{s}^2(b)-2\cos (-a)\cos (b)+co{s}^2(-a)+se{n}^2(b)-2\text{sen}(-a)\text{sen}(b)+se{n}^2(-a)$

$-2\cos (a+b)+1+1=[co{s}^2(b)+se{n}^2(b)]-2\cos (-a)\cos (b)+[co{s}^2(-a)+se{n}^2(-a)]-2\text{sen}(-a)\text{sen}(b)$

$-2\cos (a+b)+2=1-2\cos (-a)\cos (b)+1-2\text{sen}(-a)\text{sen}(b)$

$-2\cos (a+b)=-2\cos (-a)\cos (b)-2\text{sen}(-a)\text{sen}(b)$

$\cos (a+b)=\cos (-a)\cos (b)+\text{sen}(-a)\text{sen}(b)$

Como $\text{sen}(-a)=-\text{sen}(a)$ e $\cos (-a)=\cos (a)$ :

$\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)$

O que comprova a identidade.

I-3 Cosseno da diferença

Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua diferença é:

$\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\text{sen}(a)\text{sen}(b)$

Comprovação:

Do cosseno da soma:

$\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)$

Substituindo b por -b:

$\cos (a+(-b))=\cos (a)\cos (-b)-\text{sen}(a)\text{sen}(-b)$

$\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\text{sen}(a)\text{sen}(b)$

O que comprova a identidade.

I-4 Equivalência angular

Se o ângulo a é $\frac{\pi }{2}$ e b é x, então:

$\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\cos (x)+\text{sen}\left(\frac{\pi }{2}\right)\text{sen}(x)$

$\cos (\frac{\pi }{2}-x)=0+1\cdot \text{sen}(x)$

logo:

$\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\text{sen}(x)$

Por outro lado, se:

$y=(\frac{\pi }{2}-x)$ e

$x=(\frac{\pi }{2}-y)$, obtemos:

$\text{sen}(\frac{\pi }{2}-y)=\cos (y)$

I-5 Seno da soma

Sejam os ângulos a e b, o seno de sua soma é:

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\cos (b)+\text{sen}(b)\cos (a)$

Comprovação:

Sendo $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)$ e $\cos [\frac{\pi }{2}-(a+b)]=\text{sen}(a+b)$, temos:

$\text{sen}(a+b)=\cos [\frac{\pi }{2}-(a+b)]$

$\text{sen}(a+b)=\cos [(\frac{\pi }{2}-a)-b]$

$\text{sen}(a+b)=\cos (\frac{\pi }{2}-a)\cos (b)+\text{sen}(\frac{\pi }{2}-a)\text{sen}(b)$

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\cos (b)+\text{sen}(b)\cos (a)$

O que comprova a identidade.

I-6 Seno da diferença

Sejam os ângulos a e b, o seno de sua diferença é:

$\text{sen}(a-b)=\text{sen}(a)\cos (b)-\text{sen}(b)\cos (a)$

Comprovação:

Se $\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\cos (b)+\text{sen}(b)\cos (a)$,

Substituindo b por -b, temos:

$\text{sen}(a-b)=\text{sen}(a)\cos (-b)+\text{sen}(-b)\cos (a)$

e $\text{sen}(-b)=-\text{sen}(b)$ enquanto que $\cos (-b)=\cos (b)$, logo:

$\text{sen}(a-b)=\text{sen}(a)\cos (b)-\text{sen}(b)\cos (a)$

O que comprova a identidade.

I-7 Produto de dois senos

Sejam os ângulos a e b, o produto de seus senos é:

$\text{sen}(a)\text{sen}(b)=\frac{1}{2}\cdot [\cos (a-b)-\cos (a+b)]$

Comprovação:

Considerando a identidade do cosseno da diferença de dois ângulos e subtraindo de cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da soma de dois ângulos:

$\frac{\begin{array}{ccc}\cos (a-b)& =& \cos (a)\cos (b)+\text{sen}(a)\text{sen}(b)\\ & -& \\ \cos (a+b)& =& \cos (a)\cos (b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)\end{array}}{\begin{array}{ccc}\cos (a-b)-\cos (a+b)& =& 2\text{sen}(a)\text{sen}(b)\end{array}}$

O que comprova a identidade.

I-8 Produto de dois cossenos

Sejam os ângulos a e b, o produto de seus cossenos é:

$\cos (a)\cos (b)=\frac{1}{2}\cdot [\cos (a+b)+\cos (a-b)]$

Comprovação:

Considerando a identidade do cosseno da soma de dois ângulos e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da diferença de dois ângulos:

$\frac{\begin{array}{ccc}\cos (a+b)& =& \cos (a)\cos (b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)\\ & +& \\ \cos (a-b)& =& \cos (a)\cos (b)+\text{sen}(a)\text{sen}(b)\end{array}}{\begin{array}{ccc}\cos (a+b)+\cos (a-b)& =& +2\text{cos}(a)\text{cos}(b)\end{array}}$

O que comprova a identidade.

I-9 Produto de seno e cosseno

Sejam os ângulos a e b, o produto do seno de a pelo cosseno de b é:

$\text{sen}(a)\cos (b)=\frac{1}{2}\cdot [\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b)]$

Comprovação:

Considerando a identidade do seno da soma de dois ângulos e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do seno da diferença de dois ângulos:

$\frac{\begin{array}{ccc}\text{sen}(a+b)& =& \text{sen}(a)\cos (b)+\cos (a)\text{sen}(b)\\ & +& \\ \text{sen}(a-b)& =& \text{sen}(a)\cos (b)-\cos (a)\text{sen}(b)\end{array}}{\begin{array}{ccc}\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b)& =& 2\text{sen}(a)\cos (b)\end{array}}$

O que comprova a identidade.

I-10 Soma de dois senos

Sejam os ângulos p e q, a soma dos senos de p e de q é:

$\text{sen}(p)+\text{sen}(q)=2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$

Comprovação:

Podemos dizer que:

$\frac{\{\begin{array}{ccc}a+b& =& p\\ & +& \\ a-b& =& q\end{array}}{\begin{array}{cccccc}& & & 2a& =& p+q\\ \\ a& =& \frac{p+q}{2}& ;& b& =& \frac{p-q}{2}\end{array}}$

substituindo na identidade:

$\begin{array}{ccc}\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b)& =& 2\text{sen}(a)\cos (b)\\ \text{sen}(p)+\text{sen}(q)& =& 2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\end{array}$

O que comprova a identidade.

I-11 Soma de dois cossenos

Sejam os ângulos p e q, a soma dos cossenos de p e de q é:

$\cos (p)+\cos (q)=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$

Comprovação:

Seguindo a analogia anterior:

$\begin{array}{ccc}\cos (a+b)+\cos (a-b)& =& 2\cos (a)\cos (b)\\ \cos (p)+\cos (q)& =& 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\end{array}$

O que comprova a identidade.

I-12 Diferença de dois senos

Sejam os ângulos p e q, a diferença dos senos de p e de q é:

$\text{sen}(p)-\text{sen}(q)=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right)$

Comprovação:

substituindo q por -q em:

$\begin{array}{ccc}\text{sen}(p)+\text{sen}(q)& =& 2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\ \text{sen}(p)+\text{sen}(-q)& =& 2\text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\end{array}$

O que comprova a identidade.

I-13 Diferença de dois cossenos

Sejam os ângulos p e q, a diferença dos cossenos de p e de q é:

$\cos (p)-\cos (q)=-2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$

Comprovação:

substituimos q e q, por $\frac{p+q}{2}$ e $\frac{p-q}{2}$ em:

$\begin{array}{ccc}\cos (a-b)-\cos (a+b)& =& 2\cos (a)\cos (b)\\ \cos (q)-\cos (p)& =& 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\ \cos (p)-\cos (q)& =& -2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\end{array}$

O que comprova a identidade.

Limíte trigonométrico fundamental

Precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções, se trata de um limite que é utilizado na dedução das derivadas do seno e do cosseno, faremos sua dedução nesta seção. Considere o ciclo trigonométrico representado a seguir:

Ficheiro:Limite sen.png

Figura 7

A figura 7 mostra a representação de um ângulo $\alpha$ no ciclo trigonométrico, o nosso propósito é deduzir o seguinte limite:

$\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{\text{sen}(\alpha )}{\alpha }$

Para isto, imagine o triângulo inscrito na circunferência, podemos dizer que o segmento de reta n é uma aproximação grosseira do arco $\alpha$, porém observe que quando o ângulo se aproxima de zero o segmento se torna mais parecido com o respectivo ângulo, algébricamente podemos expressar que:

$\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{1}{\alpha }=\underset{n\to 0}{lim}\frac{1}{n}$

Por outro lado façamos o cálculo do valor do n; observando o triângulo podemos dizer que:

$n^2=se{n}^2(\alpha )+[1-\cos (\alpha ){]}^2$

$n^2=2[1-\cos (\alpha )]$

Logo:

$cos(\alpha )=(1-\frac{n^2}{2})$

$1-se{n}^2(\alpha )={(1-\frac{n^2}{2})}^2$

Simplificando temos:

$\text{sen}(\alpha )=n{[1-\frac{n^2}{4}]}^{\frac{1}{2}}$

Voltando para o nosso limite, temos que usar as nossas equações anteriores desta forma:

$[\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{1}{\alpha }=\underset{n\to 0}{lim}\frac{1}{n}]\cdot \text{sen}(\alpha )$

$\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{\text{sen}(\alpha )}{\alpha }=\underset{n\to 0}{lim}\frac{\text{sen}(\alpha )}{n}$

Substituindo o valor do seno no lado da equação relaciondado ao n, teremos:

$\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{\text{sen}(\alpha )}{\alpha }=\underset{n\to 0}{lim}{[1-\frac{n^2}{4}]}^{\frac{1}{2}}$

O que nos leva ao resultado:

$\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{\text{sen}(\alpha )}{\alpha }=1$

A interpretação desse limite é a seguinte:

Uma vez que o ângulo diminui até valores próximos de zero e o arco tende a se assemelhar a uma reta em regiões próximas do zero, o valor do seno é igual ao valor do arco no limite, quando o seu valor se aproxima de ser nulo.

Derivada do seno

Agora podemos verificar qual a variação da função seno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao seno, temos:

$f(x)=\text{sen}(x)$

$f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

Aplicando o seno da soma:

$f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{sen}(x)\cos (h)+\text{sen}(h)\cos (x)-\text{sen}(x)}{h}$

$f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{sen}(x)\cos (h)}{h}+\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{sen}(h)\cos (x)}{h}-\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{sen}(x)}{h}$

Aplicando os limites:

$f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{sen}(h)}{h}\cos (x)$

Temos, então, o limite fundamental que é igual a 1, logo:

$f{}^{\prime }(x)=\cos (x)$

Derivada do cosseno

Também podemos verificar qual a variação da função cosseno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao cosseno, temos:

$f(x)=\cos (x)$

$f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}$

Aplicando o seno da soma:

$f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (x)\cos (h)-\text{sen}(x)\text{sen}(h)-\cos (x)}{h}$

$f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (x)\cos (h)}{h}-\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{sen}(x)\text{sen}(h)}{h}-\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (x)}{h}$

Aplicando os limites:

$f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}-\frac{\text{sen}(h)}{h}\text{sen}(x)$

Novamente temos o limite fundamental, logo:

$f{}^{\prime }(x)=-\text{sen}(x)$

Integral do seno

Como conseqüência do resultado da derivada do seno, podemos deduzir que a sua integral, como operação inversa é:

$\int \text{sen}(x)dx=-\cos (x)+C$

Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação, conforme já estudamos anteriormente.

Integral do cosseno

Segundo o mesmo princípio colocado no caso da integral do seno, podemos afirmar que a operação de integração do cosseno é definida por:

$\int \cos (x)dx=\text{sen}(x)+C$

Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação