Análise rn/Sequências no espaço euclidiano

Sequências no espaço euclidiano

Seja $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ uma Predefinição:Busca onde $\{x_1,x_2,...,x_i,...\}$ é dito conjunto dos termos da sequência $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ .

• Se $x_k\in {ℝ}^n$, ou seja, todos os termos da sequência pertencem ao ${ℝ}^n$, então é dita sequência no espaço euclidiano.
• Uma sequência $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ é limitada quando todos os seus termos o são, ou seja, $|x_k|\le A,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},aquiA=sup|x_k|$.

Logo se tomarmos normas de todos os termos da sequência, A é o maior deles.

• Seja uma sequência no espaço euclidiano. Como seus termos $x_k\in {ℝ}^n$ são vetores, então cada coordenada de cada termo $x_k=(x_{k1},x_{k2},...,x_{ki},...)$, ou seja, cada i-ésima coordenada de um termo da sequência faz parte de uma sequência. Se projetarmos a i-ésima coordenada do termo geral, ${\pi }_i(x_k)=x_{ki}$, estaremos obtendo n sequências ${\pi }_i(x_k):\mathbb{N}\mapsto ℝ$
• Para uma sequência $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ser limitada é necessário, e suficiente, que cada i-ésima coordenada o seja.

$|x_k|\le A\Rightarrow |x_{ki}|\le A_i,assim{A}_i=sup|x_{ki}|$