Análise rn/Espaços vetoriais

Espaço Vetorial ${ℝ}^n$

• Definição:

O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a $ℝ$, cujo $n\in \mathbb{N}$:

${ℝ}^n=ℝ\times ℝ\times \cdots \times ℝ$

Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)

• Os pontos $a\in {ℝ}^n$:

são todos os pontos a = $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$, onde $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in ℝ$

• Unicidade de pontos:

Dados a = $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ e b = $(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$. Temos que $a=b\iff a_i=b_i,\mathrm{\forall }i\in I_n$

Relembrando da análise real que $I_n=\{i\in \mathbb{N};1\le i\le n\}$

Propriedades do Espaço Vetorial ${ℝ}^n$

• Soma e produto no ${ℝ}^n$

Dados $a,b\in {ℝ}^n,\alpha \in ℝ$

$a+b=(a_1+b_1,\cdots ,a_n+b_n)$

$\alpha \cdot a=(\alpha a_1,\cdots ,\alpha a_n)$

• Estas operações fazem de ${ℝ}^n$ um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos $ℝ$.

O elemento neutro para adição é $\overrightarrow{0}=(0,0,\mathrm{...},0)$

O simétrico de $a$ é $-a$ assim $-a=(-a_1,-a_2,\cdots ,-a_n)$

• Os elementos $a\in {ℝ}^n$ serão chamados pontos ou vetores
• Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear.
• A base canônica de ${ℝ}^n$ é formada pelos vetores:

$e_1=(1,0,0,0,\cdots ,0,0,0);e_2=(0,1,0,0,\cdots ,0,0,0);\cdots ;e_n=(0,0,0,0,\cdots ,0,0,1)$

• Dado $a\in {ℝ}^n$ temos que $a=\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot e_i$

Exemplos

• Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto $𝔏({ℝ}^m;{ℝ}^n)$ das aplicações lineares $A:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ e o conjunto $M(n\times m)$ das matrizes reais $(m_{ij})$ com n linhas e m colunas.
  • A matriz $(M_{ij})$ correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:

(*) $A\cdot e_j=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{e}_j;j\in I_m$

• • Assim a matriz $(a_{ij})$ da aplicação linear $A:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ tem como colunas os m vetores $A\cdot e_j=(a_{1j},\cdots ,a_{nj})\in {ℝ}^n$, transformados por A dos vetores da base canônica de ${ℝ}^n$
  • Reciprocamente dada uma matriz $(a_{ij})$ com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear $A:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor $a\in {ℝ}^m$ tendo-se $A\cdot x=\sum _{j=1}^{m}xj\cdot A{e}_j$
  • Cada matriz real $n\times m$ pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano ${ℝ}^{nm}$, basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto $𝔏({ℝ}^m;{ℝ}^n)$ das aplicações lineares de ${ℝ}^m$ em ${ℝ}^n$; ora pelo conjunto $M(n\times m)$ das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional${ℝ}^{nm}$.
  • $M(nxm)\approx 𝔏({ℝ}^m;{ℝ}^n)\approx {ℝ}^{nm}$ são isomorfos.
• Os funcionais lineares $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$são um tipo especial de aplicação linear.
  • Sejam $y_j=f(e_j);j\in I_m$ os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer $a\in {ℝ}^m$, temos $a=\sum _{i=1}^m{a}_i{e}_i$, logo $f(a)=\sum _{i=1}^m{a}_{i}f(e_i)$, ou seja, $f(a)=\sum _{i=1}^m{y}_i{a}_i$
  • Note que $(y_1,\cdots ,y_n)$ é a matriz $1\times m$ da aplicação linear $f$
• Seja ${\pi }_i:{ℝ}^m\to ℝ;i\in I_m$ o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor $e_i$:

onde se tem ${\pi }_i(e_i)=1$. Então ${\pi }_i(a)=a_i=$ i-ésima coordenada de $a\in {ℝ}^m$. Assim, ${\pi }_i$ é a i-ésima projeção do produto cartesiano ${ℝ}^m\text{ em }ℝ$. Os funcionais lineares ${\pi }_i;i\in I_m$ constituem uma base do espaço vetorial $𝔏({ℝ}^m;{ℝ}^n)=(ℝ{)}^{\ast }$ chamada a base dual da base canônica de ${ℝ}^m$

• Uma aplicação $\phi :{ℝ}^m\times {ℝ}^n\to {ℝ}^p$ chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:

$\phi (a+a^{\prime },b)=\phi (a,b)+\phi (a^{\prime },b)$

$\phi (a,b+b^{\prime })=\phi (a,b)+\phi (a,b^{\prime })$

$\phi (\alpha a,b)=\alpha \cdot \phi (a,b)$

$\phi (a,\alpha b)=\alpha \cdot \phi (a,b)$

quaisquer que sejam $a,a^{\prime }\in {ℝ}^m;b,b^{\prime }\in {ℝ}^{n}e\alpha \in ℝ$.

• • Se $\phi$ é bilinear então, para $a\in {ℝ}^m\text{ e }b\in {ℝ}^n$ arbitrários vale:

$\phi (a,b)=\phi (\sum a_i{e}_i,\sum b_j{e}_j)=\sum a_i{b}_i\phi (e_i,e_j)$:

de modo que $\phi$ fica inteiramente determinado pelos mn valores $\phi (e_i,e_j)\in {ℝ}^p$ que assume ns pares ordenados de vetores básicos$(e_i,e_j)$. Note que $\phi (a,0)=\phi (0,b)=0$ quaisquer que sejam $a\in {ℝ}^m\text{ e }b\in {ℝ}^n$.

Produto Interno

O produto interno é a função $<,>:(E\times E\to ℝ)$.

• simetria: $<a,b>=<b,a>,\mathrm{\forall }a,b\in E$
• bilinear
  • soma: $<a+a^{\prime },b>=<a,b>+<a^{\prime },b>,\mathrm{\forall }a,a^{\prime },b\in E$
  • produto: $<\alpha a,b>=\alpha <b,a>,\mathrm{\forall }a,b\in E\alpha \in ℝ$
• positivo: $<a,a>>0,\text{ com }a\ne 0$

Lema 1 (Produto interno canônico)

$Sejaf:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\mapsto ℝ,f(x,y)=<x,y>$

tome $a,b\in {ℝ}^n,<a,b>=a_1{b}_1+\mathrm{...}+a_n{b}_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$

Norma

Dado $x\in ℝ,<x,x>=|x{|}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2$ é a norma do vetor x (norma euclidiana)

• De maneira geral, $n:{ℝ}^n\mapsto ℝ$ é uma norma então
  • $n(a+b)\le n(a)+n(b)$
  • $n(\alpha a)=\alpha n(a)$
  • $n(a)\ge 0en(a)=0<=>a=0$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

$|<a,b>|\le |a||b|,\mathrm{\forall }a,b\in {ℝ}^n$