Análise rn/Derivadas parciais e direcionais

Derivadas Parciais

Dados $a,h\in U\subset {ℝ}^n$ temos:

• O acréscimo h ao vetor a resulta no vetor a+h.
  • Dizer que h é o acréscimo de a siginifica que (a+h) - (a) = h
• A imagem de a é f(a) e a imagem de a+h é ${\varphi }^{″}(a+h{)}^{″}$
  • O acréscimo que h produz na imagem é o acréscimo ${\varphi }^{″}(a+h)-f(a{)}^{″}$
• O segmento de reta de um ponto p ao ponto q é dado por $\lambda (t)=p+tq;t\in (0,1)$
  • O segmento de reta de um ponto a na direção de um $e_i$ é dado por $\lambda (t)=a+t{e}_i;t\in (0,1)$

I-ésima Derivada Parcial

Seja o aberto ($U\subset {ℝ}^n$) tal que $\varphi :U\mapsto {ℝ}^n$. Dado o ponto $a\in U$ e $i\in I_n$,

a i-ésima derivada parcial de $\varphi$ no ponto a é o limite

$\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}(a)=(\underset{t\to 0}{lim}\frac{\varphi (a+t{e}_i)-\varphi (a)}{(a+t{e}_i)-(a)}=)\underset{t\to 0}{lim}\frac{\varphi (a+t{e}_i)-\varphi (a)}{t}$

$(a+t{e}_i)-(a)$ é a distância um ao outro, então temos $|a+t{e}_i|-|a|\le |a|+|t{e}_i|-|a|=|a|-|a|+|t||e_i|\text{ como }|e_i|=1\text{ logo }|t|=t$.

Aqui ficou implícito que $|t|=t\text{ pois }t\in (0,1)$

função real de n variáveis por um caminho

Seja o aberto ($U\subset {ℝ}^n$) tal que $\varphi :U\mapsto {ℝ}^n$. Dado o ponto $a\in U$ e $i\in I_n$