Análise real/tório

Notação de Somatório e Produtório

Muitas vezes precisamos usar a soma ou produto de vários números reais de cada vez. Como "..." é dado sem significado pelos nossos axiomas, não podemos apenas escrever "$a_1+a_2+\dots +a_n$". Logo usamos símbolos $\sum _{k=1}^n{a}_k$ e $\prod _{k=1}^n{a}_k$ para denotar a soma e produto, respectivamente, sobre um arbitrário número finito de números reais. Faremos isto indutivamente, como se segue:

• $\sum _{k=1}^1{a}_k=a_1$ e $\prod _{k=1}^1=a_1$
• $\sum _{k=1}^n{a}_k=a_n+\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k$ e $\prod _{k=1}^n{a}_k=a_n\prod _{k=1}^{n-1}{a}_k$

Agora podemos provar algumas propridades de soma e produto:

Propriedades

• A ordem da somatória pode ser mudada arbitrariamente. Ao qual, se $\{a_k:1\le k\le n\}=\{b_k:1\le k\le n\},$ então $\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n{b}_k$ e $\prod _{k=1}^n{a}_k=\prod _{k=1}^n{b}_k$

• • Prova: Isto segue por comutatividade e um pouco de indução.

• $\sum _{k=1}^n{a}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k=\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)$ e $\prod _{k=1}^n{a}_k\prod _{k=1}^n{b}_k=\prod _{k=1}^n(a_k{b}_k)$

• • Prova: Procederemos por indução. Primeiro, note que $\sum _{k=1}^1{a}_k+\sum _{k=1}^1{b}_k=a_k+b_k=\sum _{k=1}^1(a_k+b_k).$

Agora vamos supor que $\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=\sum _{k=1}^{n-1}(a_k+b_k).$ Logo $\sum _{k=1}^n{a}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k$$=\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k+a_n+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k+b_n$$=\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k+a_n+b_n$$=\sum _{k=1}^{n-1}(a_k+b_k)+(a_n+b_n)$$=\sum _{k=1}^n(a_k+b_k).$

A prova para o produto segue-se similarmente.

• $c\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^{n}c{a}_k$

• • Prova: Outra indução. Para $n=1,$ $c\sum _{k=1}^1{a}_k=c{a}_1=\sum _{k=1}^{1}c{a}_k.$ Vamos supor que seja verdade para n-1. logo $c\sum _{k=1}^n{a}_k=c(\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k+a_n)=\sum _{k=1}^{n-1}c{a}_k+c{a}_n=\sum _{k=1}^{n}c{a}_k.$

• $\sum _{k=1}^n(a_k)\sum _{l=1}^m(b_l)=\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^m{a}_k{b}_l$

• • Prova: Faremos indução sobre n. A propriedade anterior toma conta do caso em que n=1. Assuremos que seja verdade para n-1. Logo $\sum _{k=1}^n(a_k)\sum _{l=1}^m(b_k)$$=(\sum _{k=1}^{n-1}(a_k)+a_n)\sum _{l=1}^m(b_k)$$=\sum _{k=1}^{n-1}(a_k)\sum _{l=1}^m(b_k)+a_n\sum _{l=1}^m(b_k)$$=\sum _{k=1}^{n-1}\sum _{l=1}^m(a_k{b}_l)+\sum _{l=1}^m(a_n{b}_k)$$=\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^m(a_k{b}_l)$

Propridades mais familiares de soma e produto podem ser deduzidas por métodos similares.

Princípio dos Intervalos encaixados

Esse conceito será muito útil para nós. E será muito usado nas próximas secções e em muitos exercícios.

• Seja uma $X_1\subset X_2\subset ...\subset X_n\subset ...$ sequência decrescentes de intervalos limitados e fechados $X_n=[x_n,y_n].$
  • $X=\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i\ne \varnothing \iff \mathrm{\exists }a\in ℝ;a\in X_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
  • De fato temos que $X=[x,y],ondex=sup{x}_n,y=inf{y}_n$