Análise real/Unicidade dos números reais

Existem várias maneira de construir o conjunto $ℝ$ dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.

Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.

Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.

Definição (isomorfismo entre corpos ordenados)

Dizemos que $\varphi :𝔽\to 𝕂$ é um isomorfismo entre corpos ordenados se:

1. $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b),\mathrm{\forall }a,b\in 𝔽$;
2. $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b),\mathrm{\forall }a,b\in 𝔽$;
3. $\mathrm{\forall }a,b\in 𝔽$, com $a<b\Rightarrow \varphi (a)<\varphi (b)$;
4. $\varphi (a)=\varphi (b)\Rightarrow a=b$, isto é, $\varphi$ é injetiva;
5. $\mathrm{\forall }y\in 𝕂,\mathrm{\exists }x\in 𝔽|y=\varphi (x)$, ou seja, é sobrejetiva.

Proposição

Se $𝔽,𝕂$ são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.

Demonstração

A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.

A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função $\varphi$ entre os corpos $𝔽$ e $𝕂$ e então provar que essa função é um isomorfismo.

Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que $𝔽,𝕂$ são corpos, então existe $0,1\in 𝔽$ e $0^{\prime },1^{\prime }\in 𝕂$, nada mais natural que definirmos:

Seja $f:\mathbb{Q}\subset 𝔽\to 𝕂$ definida da seguinte maneira: $f(0)=0^{\prime }$

$f(1)=1^{\prime }$

E por indução, para cada $n\ge 1$, temos:

$f(n)=f(n-1)+1^{\prime }$

$f(-n)=-f(n)$

Se $n≠0$, então sabemos que $\mathrm{\exists }f(n{)}^{-1}\in 𝕂$, pois como $n≠0$, então $f(n)≠0^{\prime }$.

Portanto podemos definir:

$f(m/n)=f(m)f(n{)}^{-1}$.

Desta forma a função $f$ mapeia $\mathbb{Q}\subset 𝔽$ em ${\mathbb{Q}}^{\prime }:=f(\mathbb{Q})\subset 𝕂$.

Vamos mostrar que $f$ é um isomorfismo de corpos ordenados de $\mathbb{Q}$ em ${\mathbb{Q}}^{\prime }.$

• $f$ preserva a soma:

Por definição, temos $f(n+1)=f(n)+1^{\prime }=f(n)+f(1)$, para todo n natural.

Suponha que $f(n+m)=f(n)+f(m)$, para todo $m$ tal que $1\le m<k$.

$f(n+(k-1))+f(1)=f(n)+f(k-1)+f(1)=f(n)+f(k)$, pela hipótese de indução.

• $f$ preserva o produto:

• $f$ preserva a ordem:

• $f$ é injetora:

• $f$ é sobrejetora;

Seja $\varphi :𝔽\to 𝕂$ definida da seguinte maneira:

Para cada $a\in 𝔽$, sejam, $X_a=\{x\le a;x\in \mathbb{Q}\subset 𝔽\}$. Como $X_a≠\mathrm{\varnothing }$, podemos definir $\varphi (a)=sup\{f(x);x\in X_a\}.$

Agora vamos provar que $\varphi$ é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.

• $\varphi$ preserva a soma:

• $\varphi$ preserva o produto:

• $\varphi$ preserva a ordem:

• $\varphi$ é injetora:

• $\varphi$ é sobrejetora;

Dado $y\in 𝔽,y=sup\{q^{\prime }\in {\mathbb{Q}}^{\prime };q<y\}.$

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