Análise real/Topologia da reta

Conceitos da topologia da reta que serão usados na Análise Real. Nota: para usar uma analogia com a geometria, um número real x também será chamado de um ponto x.

Conjunto aberto

Vizinhança

• Seja X um conjunto real, a vizinhança de um elemento x de X são todos os elementos y que estão próximo de x a um "raio" $ϵ$, isto é, $|x-y|$ deve ser menor estrito a $ϵ$. Portanto $V_{ϵ}(x)=\{y\in ℝ;|x-y|<ϵ\}=B(x,ϵ)=(x-ϵ,x+ϵ)=\{y\in ℝ;x-ϵ<y<x+ϵ\}$
• $\bigcap _{\mathrm{\forall }ϵ>0}{V}_{ϵ}(x)=\{x\}$
• Tome $x,y\in X,x\ne y\Rightarrow \mathrm{\exists }ϵ>0;V_{ϵ}(x)\cap V_{ϵ}(y)=\mathrm{\varnothing }$

Teorema da Vizinhança Interna

Tome $x\in X,\delta <ϵ\Rightarrow V_{\delta }(x)\subset V_{ϵ}(x)$

Prova

Tome $y\in V_{\delta }(x)\Rightarrow |y-x|<\delta$, como $\delta <ϵ\Rightarrow |y-x|<\delta <ϵ\Rightarrow y\in V_{ϵ}(x)$

Ponto interior

Um ponto x é dito ponto interior de um conjunto $X\subset ℝ,$ se, e somente, se $\mathrm{\exists }{V}_{ϵ}(x)\subseteq X$

Usamos a notação $int(X)$ para denotar o conjunto de todos os pontos interiores do conjunto $X$

• $Xfinito\Rightarrow int(X)=\mathrm{\varnothing }$ ( A recíproca é falsa, por exemplo $int(\mathbb{Q})=\mathrm{\varnothing }$ )
• $int(X)=\{x\in X;V_{ϵ}(x)\subset X,\text{ para algum }ϵ>0\}$.
• $\mathrm{\exists }{V}_{ϵ}(x)\subset X\Rightarrow x\in int(X)$.

Exemplos

• Todo ponto x é um ponto interior de $ℝ$
• Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a, b). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b); por exemplo, a não é ponto interior de (a, b) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a.
• Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
• Nenhum ponto é ponto interior de $\mathbb{N},$ $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}.$

Fronteira de um conjunto

Dado $X\subset ℝ$. Um ponto $x\in ℝ$ é dito ponto da fronteira de $X$, se toda vizinhança de x intersecta $X\text{ e }ℝ-X$.

• $\mathrm{\forall }ϵ>0,V_{ϵ}(x)\cap X\ne \varnothing \text{ e }{V}_{ϵ}(x)\cap ℝ-X\ne \varnothing \Rightarrow x\in \partial X$
• Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto $A$ por $\partial A$.

Definição de conjunto aberto

• Dizemos que um conjunto $X\subset ℝ$ é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja: $\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }ϵ>0;V_{ϵ}(x)\subset X.$
  • $\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }ϵ;V_{ϵ}(x)\subset X\Rightarrow X$ é aberto.
• Dizemos que um conjunto $X\subset ℝ$ não é conjunto aberto se $\mathrm{\exists }x\in X;\mathrm{\forall }ϵ>0;V_{ϵ}(x)\subset ̸X.$
• Um conjunto é aberto se $A\cap \partial A=\varnothing$.

Exemplos

• O intervalo aberto $(a,b)\subset ℝ,$ com $a<b$ é aberto, de fato, dado $x\in (a,b),$ tomando $ϵ=min\{x-a,b-x\},$ temos que $(x-ϵ,x+ϵ)\subset (a,b).$ Portanto, o intervalo aberto é, de fato, aberto.
• $[a,b)\subset ℝ,$ com $a<b$ não é aberto, pois, qualquer que seja $ϵ>0,(a-ϵ,a+ϵ)\subset ̸[a,b).$
• $(a,\mathrm{\infty })\subset ℝ,$ é aberto, de fato, dado $x\in (a,\mathrm{\infty }),$ tomando $ϵ=x-a,$ temos que $(x-ϵ,x+ϵ)\subset (a,\mathrm{\infty }).$
• $(-\mathrm{\infty },b)\subset ℝ,$ é aberto, de fato, dado $x\in (-\mathrm{\infty },b),$ tomando $ϵ=b-x,$ temos que $(x-ϵ,x+ϵ)\subset (-\mathrm{\infty },b).$

Propriedades dos conjuntos abertos

1. Os conjuntos $ℝ$ e $\mathrm{\varnothing }$ são abertos.
2. A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
3. A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Demonstração

1. Imediato da definição.

2.Seja $\{O_{\lambda }\}$ uma família de conjuntos abertos indexada pelo índice $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ e seja:

$O=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{O}_{\lambda }.$

Então se $x\in O,$ existe um ${\lambda }^{\prime }\in \mathrm{\Lambda }$ tal que $x\in O_{{\lambda }^{\prime }}.$

Como $O_{{\lambda }^{\prime }}$ é aberto, existe um intervalo $(a,b)$ com $a<b$ tal que:

$x\in (a,b)\subseteq O_{{\lambda }^{\prime }}$

Como $O_{{\lambda }^{\prime }}\subseteq \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{O}_{\lambda },$ temos que:

$x\in (a,b)\subseteq O$

E portanto $O$ é aberto.

3.Seja $\{O_k{\}}_{k=1}^n$ uma família finita de conjuntos aberto e seja $O=\bigcap _{k=1}^n{O}_k$ e $x\in O.$ Como $x\in O_k,k=1,\dots ,n$ e cada $O_k$ é aberto. Existem intervalos $(a_k,b_k)$ tais que:

$x\in (a_k,b_k)\subseteq O_k$

Naturalmente vale que $a_k<x<b_k.$ Agora definimos:

$a=max\{a_k{\}}_{k=1}^{n}b=min\{b_k{\}}_{k=1}^n$

É fácil ver que $a<x<b$ e também que:

$x\in (a,b)\subseteq O_k,k=1,\dots ,n$

e portanto:

$x\in (a,b)\subseteq O.$

O que completa a demonstração.

Lema

Seja $X\subset ℝ$. As afirmativas abaixo são equivalentes.

• (1) X é aberto.
• (2) Todo ponto de X é ponto interior.
• (3) X é uma vizinhança de seus pontos.

DEMONSTRACÃO

Vamos mostrar que $(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1).$

• Assumindo (1), Seja $x\in X$. Como por hipótese, X é aberto, temos que $\mathrm{\exists }ϵ>0,V_{ϵ}(x)\subset X$. Logo x é ponto interior de X. Como x é arbitrário, obtemos (2).
• Seja agora (2) verdadeiro. Se $x\in X$, então por hipótese, x é ponto interior de X, i.e., $\mathrm{\exists }ϵ>0,V_{ϵ}(x)\subset X$ existe um aberto em X contendo x. Logo, por definição, X é uma vizinhança de x e (3) vale.
• Finalmente, assumindo (3), tome para cada $x\in X$ um aberto $I_x\subset B$ tal que $x\in I_x$.

Então $X=\bigcup _{x\in B}{I}_x$ é aberto pois é união de abertos.

Conjunto fechado

Ponto aderente

Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos x_n ∈ X ⊂ $ℝ.$

• Todo ponto a de um conjunto $X$ é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante $x_n=a.$

• Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto $X:={\{1/n\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.

Valor de aderência

valor de aderência de uma sequência é um ponto aderente do conjunto $\{x_1,x_2,\mathrm{...},x_n,\mathrm{...}\}.$

• O único valor de aderência de $\{x_1,x_2,\mathrm{...},x_n,\mathrm{...}\}\cup \{a=lim{x}_n\}$ é a.

Teorema

As seguintes afirmações são equivalentes:

1. $a$ é ponto aderente de $X$
2. Para todo $ϵ>0,$ existe um ponto $x\in X$ tal que $|x-a|\le \epsilon$
3. $B(a,ϵ)\cap X≠\varnothing$ para todo $ϵ>0;$ Demonstração

1→2: Se a é um ponto aderente de X, por definição, existe um sequência $x_n\in X$ tal que $x_n\to a.$ Da definição de limite de sequências, para todo $ϵ>0,$ existe um $x_k$ tal que $|x_k-a|\le \epsilon .$ Como $x_k\in X,$ basta definir $x=x_k$ e o resultado segue.

2→3:Suponha que $x\in X$ e $|x-a|\le \epsilon .$ Como $B(a,ϵ)=\{x\in ℝ:|x-a|<ϵ\},$ $x\in B(a,ϵ)$ e o resultado segue.

3→1:Defina a sequência $x_n,$ escolhendo-os de forma que $x_n\in B(a,1/n)\cap X.$ Esta sequência tem a propriedade que $x_n\in X$ e $|x_n-a|<1/n,$ logo $x_n\to a$ e o resultado segue.

Fecho

Define-se o fecho de um conjunto X como o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por $\overline{X}:$

$\overline{X}:=\{a\in ℝ:\mathrm{\forall }ϵ>0.B(a,ϵ)\cap X≠\varnothing \}$

Exemplos

• Os fechos de $ℝ$ e $\varnothing$ são eles mesmos
• O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
• Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo $x\in ℝ$ uma sequência de números racionais $q_i$ que converge para x. Ou seja, o fecho de $\mathbb{Q}$ é $ℝ$
• Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ são eles mesmos.
• O fecho de qualquer intervalo (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b], em que a < b, é o intervalo fechado [a, b]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a, b) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a, b) que converge para a. Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a. Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N, então |a - (a + 1/n)| < ε. Reescrevendo, temos que para n > N, 1/n < b - a, ou seja, a + 1/n < b. Como a + 1/n > a, temos que $a+1/n\in (a,b).$ Portanto, a sequência de elementos do intervalo (a, b) dada por a + 1/N, a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a, b) que converge para a.

Definição de conjunto fechado

Um conjunto $X$ é dito conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho: $X=\overline{X}$

Exemplos

• São fechados: $ℝ,$ $\varnothing ,$ $\mathbb{N},$ $\mathbb{Z},[a,b],[a,\mathrm{\infty }),(-\mathrm{\infty },b]$.
• Não são fechados: $\mathbb{Q},ℝ-\mathbb{Q},(a,b),(a,b],[a,b)$ .

Teorema

Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.

a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:

$O=ℝ\mathrm{\setminus }X$

Suponha por absurdo que $O$ não seja um conjunto aberto, ou seja, suponha a existência de um ponto $x\in O$ tal que:

$\mathrm{\forall }ϵ>0;B(x,ϵ)⊈O$

Como $O\cup X=ℝ$ temos que

$B(x,ϵ)⊈O⟹B(x,ϵ)\cup X\ne \mathrm{\varnothing }$

Esta propriedade implica que $x\in \overline{X}$ e como X é fechado,$x\in X,$ o que contraria a hipótese inicial de que $x\in O$ e $O=ℝ\mathrm{\setminus }X.$

b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O:

$X=ℝ\mathrm{\setminus }O$

Suponha a existência de uma sequência $x_n\in X$ tal que:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x$

Queremos mostrar que $x\in X.$ Suponha, por absurdo, que $x\notin X,$ ou seja, $x\in O.$ Como O é aberto, exite uma bola $B(x,ϵ)\subseteq O.$ Escolha $x_N$ tal que $|x_N-x|<ϵ.$ Isso implica $x_N\in B(x,ϵ)\subseteq O,$ o que é uma contradição, já que $x_N\in X.$

Propriedades dos conjuntos fechados

1. Os conjuntos $ℝ$ e $\mathrm{\varnothing }$ são fechados.
2. A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
3. A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Demonstração

1. $\mathrm{\varnothing }$ é aberto. Pelo teorema "Um conjunto é fechado $\iff$ se, e somente se, seu complementar é aberto" o seu complementar é fechado, isto é, $ℝ$ é fechado.

Densidade

$X\subset Y$. $X$ é denso em $Y$ logo:

• Dado $y\in Y\Rightarrow I_y\cap X≠\mathrm{\varnothing },$
• Dado $y\in Y\Rightarrow \mathrm{\exists }x\in I_y\cap X$
• Dado $y\in Y\Rightarrow y\in \bar{X}$
• Dado $y\in Y\Rightarrow y=lim{x}_n,\mathrm{\forall }(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in X$

Ponto de acumulação

Ponto de acumulação

Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência $x_n\in X$ de pontos diferentes de x convergindo para x.

É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto $X=\{0\}$ possui um único elemento. Este elemento é um ponto de aderência, já que a sequência constante $x_n=0$ converge para ele, mas não é um ponto de acumulação, pois não existe nenhuma sequência de elementos de X diferentes de 0 convergindo para 0.

• x é ponto de acumulação se, $\mathrm{\forall }ϵ>0,X\cap (x-ϵ,x+ϵ)\ne \{x\}.$
• x é ponto de acumulação se, $\mathrm{\forall }ϵ>0;\mathrm{\exists }y\in X;0<|y-x|<ϵ$

Conjunto Derivado

X' é o conjunto chamado derivado, onde seus elementos são os pontos de acumulação de X, assim:

$X^{\prime }=\{x\in ℝ;\mathrm{\forall }ϵ>0,X\cap (x-ϵ,x+ϵ)\ne \{x\}\}=\{x\in ℝ;\mathrm{\forall }ϵ>0;\mathrm{\exists }y\in X;0<|y-x|<ϵ\}$

Ponto isolado

Define-se como ponto isolado de um conjunto X, um elemento $x\in X$ que não é ponto de acumulação.

Conjunto discreto

Diz-se que $X$ é um conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.

Teorema: Conjunto discreto é enumerável

Seja $X\subset ℝ$ um conjunto cujos pontos são todos isolados, então $|X|\le |\mathbb{N}|$.

Demonstração

Uma vez que os pontos de $X$ são todos isolados, para cada $x\in X$ podemos fixar ${\delta }_x>0$ tal que $B_{{\delta }_x}(x)\cap X=\{x\}$. Agora $\mathbb{Q}$ é denso em $ℝ$, então $B_{\frac{{\delta }_x}{2}}(x)\cap \mathbb{Q}\ne \mathrm{\varnothing }$.

Fixemos para cada $x\in X$ algum $q_x\in B_{\frac{{\delta }_x}{2}}(x)\cap \mathbb{Q}$ e definamos a função $\varphi :X\to \mathbb{Q}$ por $\varphi (x)=q_x$. Essa função é injetora, de fato, suponha que $\varphi (x)=q=\varphi (y)$ devemos ter que $d(x,q)<\frac{{\delta }_x}{2}$ e $d(y,q)<\frac{{\delta }_y}{2}$. Defina $\delta =max({\delta }_x,{\delta }_y)$, segue que $d(x,y)<d(x,q)+d(q,y)<\frac{{\delta }_x}{2}+\frac{{\delta }_y}{2}<\delta$, mas isso significa que ou $x\in B_{\delta }(y)\cap X\subset B_{{\delta }_y}(y)\cap X=\{y\}$ ou $y\in B_{\delta }(x)\cap X\subset B_{{\delta }_x}(x)\cap X=\{x\}$ e em ambos os casos concluímos que $x=y$.

Uma vez que $\varphi :X\to \mathbb{Q}$ é injetora devemos ter $|X|\le |\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}|$ e portanto $X$ é enumerável.

Note que a mesma demonstração continua válida para espaços métricos que satisfazem o 3º axioma de enumerabilidade.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Seja $X$ um conjunto infinito e limitado, então $X$ possui pelo menos um ponto de acumulação.

Demonstração

Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito $[a,b]$ tal que $X\subset [a,b].$ Defina $M_1,$ o ponto médio deste intervalo:

$M_1:=\frac{a+b}{2}$

como $X=(X\cap [a,M_1])\cup (X\cap [M_1,b])$ e X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que $(X\cap [a,M_1])$ ou $(X\cap [M_1,b])$ possui infinitos pontos. Definimos então:

: $\begin{array}{ccc}{a}_1=M_1,& b_1=b,& \text{se }(X\cap [M_1,b])\text{for infinito;}\\ a_1=a,& b_1=M_1,& \text{c.c.}\end{array}$

E define-se $X_1:=X\cap [a_1,b_1],$ $X_1$ é novamente um conjunto infinito. Este processo pode ser aplicado recursivamente, definindo:

$M_{n+1}:=\frac{a_n+b_n}{2}:$ $\begin{array}{ccc}{a}_{n+1}=M_{n+1},& b_{n+1}=b_n,& \text{se }(X\cap [M_{n+1},b_n])\text{for infinito;}\\ a_{n+1}=a_n,& b_{n+1}=M_{n+1},& \text{c.c.}\end{array}$

e, finalmente, $X_{n+1}:=X_n\cap [a_{n+1},b_{n+1}],$ que será um conjunto de infinitos pontos. Observe que a sequência $a_n$ é não decrescente e limitada superiormente por b e a sequência $b_n$ é não crescente e limitada inferiormente por a. Daí, podemos inferir a existência dos limites:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n.$

Como $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n},$ estes limites deve ser idênticos:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=:x^{\ast }.$

Vamos mostrar agora que $x^{\ast }$ é um ponto de acumulação de X. Para isso, devemos mostrar que para todo $ϵ>0$ o conjunto $B(x^{\ast },ϵ)\cap X$ possui infinitos pontos. De fato, fixe $ϵ>0$ e escolha n tal que:

$b_n-a_n<ϵ$

Como $x\in [a_n,b_n],$ temos que $[a_n,b_n]\subseteq B(x^{\ast },\epsilon ).$ Logo $B(x^{\ast },ϵ)\cap X\supseteq [a_b,b_n]\cap X=X_n.$ Como $X_n$ é infinito por construção, $x^{\ast }$ é um ponto de acumulação de X, o que completa a demonstração.

Aplicação

Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:

Todo sequência limitada de números reais admite uma sub-sequência convergente.

Teorema (Propriedade dos intervalos encaixantes)

Se $F_n$ é uma sequência de conjuntos fechados, limitados e não-vazios tais que $F_{n+1}\subseteq F_n,$ então a intersecção destes conjuntos é não vazia. Isto é:

$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n\ne \mathrm{\varnothing };$ Demonstração

Como cada $F_n$ é não vazio é possível construir a sequência $x_n$ tal que:

$x_n\in F_n$

Do fato de os conjuntos $F_n$ são limitados, passando a uma subsequência se necessário, pode-se supor $\{x_n\}$ é uma sequência convergente para algum real $x^{\ast }.$

De $F_k\subseteq F_n$ se $k\ge n,$ temos que $\{x_n{\}}_{n=k}^{\mathrm{\infty }}\subseteq F_k$ e como cada um destes conjuntos é fechados, $x^{\ast }\in F_k$ para todo k. Daí temos que o limite $x^{\ast }\in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n$ e o resultado segue.

Distância de um conjunto a um ponto

A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto $x\in ℝ$ pertence ao fecho $\bar{S}$ de um conjunto $S$ se e somente se a distância se $S$ ate $x$ é nula.

Definimos a distância entre um conjunto $S\subseteq ℝ$ e um ponto $x\in ℝ$ como o ínfimo da distância entre os pontos de S e o ponto x.

$\text{dist}(S,x):=\underset{y\in S}{inf}|x-y|$

Propriedades

1. $\text{dist}(S,x)>0⟹x\notin S$
2. $\text{dist}(S,x)=\text{dist}(\bar{S},x)$
3. $x\in \bar{S}⟺\text{dist}(S,x)=0;$ Demonstração

1. Se $\text{dist}(S,x)>0,$ todo ponto $y\in S$ tem a propriedade que:

$|x-y|\ge \text{dist}(S,x)>0⟹x\ne y$

e o resultado segue.

2. Do fato que $S\subseteq \bar{S}$ e da definição de ínfimo, temos:

$\text{dist}(S,x)\ge \text{dist}(\bar{S},x)$

Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto $x\in ℝ$ e defina

$\delta :=\text{dist}(\bar{S},x)$

Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência $\{y_n\}$ tal que

$y_n\in \bar{S}\text{ e }|y_n-x|<\delta +1/n,n=1,2,3,\dots$

Como $y_n\in \bar{S},$ da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos $z_n$ tais que:

$z_n\in S\text{ e }|z_n-y_n|<1/n$

Da desigualdade triangular, temos:

$|z_n-x|\le |z_n-y_n|+|y_n-x|<\delta +2/n$

Agora, basta estimar:

$\text{dist}(S,x)\le {inf}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}|z_n-x|=\delta =\text{dist}(\bar{S},x)$

E o resultado segue.

3. Resta-nos demonstrar que se $F$ é um conjunto fechado então $\text{dist}(F,x)=0⟹x\in F$ Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência $\{y_n\}$ tal que

$y_n\in \bar{S}\text{ e }|y_n-x|<1/n,n=1,2,3,\dots$

Da definição de limite, temos que:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=x$

Como $F$ é um conjunto fechado, o limite $x$ da sequência $\{y_n\}$ deve pertencer a $F.$ Assim, o resultado segue.

Conjuntos compactos

Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X.

Todo compacto é fechado e limitado

a.Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência $x_n\in X$ que converge para um número real $x\notin X$. Como $\{x_n\}$ é convergente, todas as suas sub-sequências convergem para o mesmo limite x, portanto, nenhuma subsequência de $\{x_n\}$ converge para um ponto de X, logo X não pode ser compacto.

b.Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência $x_n\in X$ tal que $|x_n|>n.$ Esta sequência não possui nenhuma sub-sequência convergente, logo X não pode ser compacto.

Todo conjunto fechado e limitado é compacto

Suponha que X é fechado e limitado e seja $\{x_n\}$ uma sequência contida em X. A sequência $\{x_n\}$ é limitado, portanto, possui um sub-sequência convergente para um limite $x^{\ast },$ como X é fechado, $x^{\ast }\in X,$ o que completa a demonstração.

Compacidade no sentido de Heine-Borel

Seja $X$ um conjunto na reta e $\{O_{\lambda }\}$ um coleção de conjuntos abertos $O_{\lambda }$ indexados por um índice $\lambda \in \mathrm{\Lambda }.$ Dizemos que $\{O_{\lambda }\}$ é uma cobertura de $X$ se:

$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{O}_{\lambda }\supseteq X$

Exemplos de cobertura

• A família de abertos ${\left\{O_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ dada por $O_n=(-n,n)$ é uma cobertura para o conjuntos dos número reais, $ℝ$
• A família de abertos ${\left\{O_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ dada por $O_n=(1-1/n,1+1/n)$ é uma cobertura do intervalo $(0,1).$
• A família de abertos $\left\{O_{\lambda }\right\}$ dada por $O_{\lambda }=(-\lambda ,\lambda ),$ onde o índice $\lambda$ pertence a $(0,1)$ é uma cobertura do intervalo $(-1,1).$

Subcobertura

Seja $\{O_{\lambda }\},\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ uma cobertura de $X$ e $\mathrm{\Gamma }\subseteq \mathrm{\Lambda }.$ Dizemos que $\{O_{\gamma }\},\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ é uma subcobertura de $\{O_{\lambda }\},\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ se $\{O_{\gamma }\},\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ é também uma cobertura de X.

Teorema de Heine-Borel

Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:

Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.

Demonstração

Começamos demonstrando o seguinte lema:

Lema

Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e $x\notin K,$ então $\text{dist}(K,x)>0;$ Demonstração

Define-se:

$r(y)=\frac{|x^{\ast }-y|}{2},\mathrm{\forall }y\in {ℝ}^n$

É claro que $r(y)>0$ para todo ponto $y$ em $K.$

Agora constróem-se os abertos:

$O_y=B(y,r(y)),\mathrm{\forall }y\in K,$ ou seja, a bola de centro y e raio $r(y)$

Eles formam uma cobertura para $K:$

$K=\bigcup _{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup _{y\in K}{O}_y$

Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos $y_1,y_2,\dots ,y_n\in K$ tais que:

$K\subseteq \bigcup _{k=1}^n{O}_{y_k}$

Da simples definição de $O_y,$ sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em $y^{\ast }$ de raio $r(y):$

$O_y\bigcap B(x^{\ast },r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^{\ast },r(y))=\mathrm{\varnothing }$

Define-se:

$\delta ={min}_{k=1}^{n}r(y_k)$

temos:

$O_{y_k}\bigcap B(x^{\ast },\delta )=B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^{\ast },\delta )\subseteq B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^{\ast },r(y_k))=\mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }k=1,\dots ,n$

Tomando a união, temos:

$K\bigcap (B(x^{\ast },\delta ))\subseteq \left(\bigcup _{k=1}^n{O}_{y_k}\right)\bigcap B(x^{\ast },\delta )=\mathrm{\varnothing }$

O que completa a demonstração.

Todo conjunto de Heine-Borel é fechado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja $x\notin K,$ pelo lema anterior $\text{dist}K,x>0$ e, portanto, $x\notin \bar{K},$ isso significa que:

$K^c\subseteq {\bar{K}}^c⟹\bar{K}\subseteq K$

e portanto K é fechado.

Todo conjunto de Heine-Borel é limitado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K:

$K\subseteq ℝ=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n,n)$

Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:

$K\subseteq \bigcup _{n=1}^N(-n,n)=(-N,N)$

Logo K é limitado.

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