Análise real/Subconjunto

Definição de Subconjunto

Quando um conjunto $Y$ é parte de uma certa coleção $X$ dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos $Y \subset X$ .

Ex: $X = {x \in ℝ; x > 2}, Y = {y \in ℝ; 4 < y < 10}$ . Como $X = (2, \infty), Y = (4, 10), (4, 10) \subset (2, \infty) logo Y \subset X$ , isto é, todo elemento que pertence a $Y$ , pertence a $X$ , por isso dizemos que $Y$ é subconjunto de $X$ .
Mais formalmente, se $y \in Y, Y \subset X \Rightarrow y \in X$ , também $Y \subset X \Leftrightarrow X \supset Y$

Consideremos os seguintes conjuntos $A = {2 n; n \in ℕ}, B = {4 n; n \in ℕ} .$

Provaremos que $B \subset A .$ De fato, seja $x \in B,$ então $x = 4 n para algum n \in ℕ$ , sendo que pode ser escrito na forma $x = 2 (2 n) = 2 m$ , onde claramente $m = 2 n \in ℕ$ , logo $x \in A$
Agora vejamos que $\exists x \in A tal que x \in B; tomamos x = 2 = 2 (1) \in A$ provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que $x = 2 \in B$ então existe $n \in ℕ$ tal que $2 = 4 n$ , porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional $n = 1 / 2$ o qual não pertence a $ℕ$ , fato que nos fornece uma contradição. Portanto $A \subset B .$

$Y \subset X$ significa que todos os elementos de $Y$ estão em $X$ .

Y \subset X

lê-se

Y

está contido em

X

.

Podemos definir

Y \subset X

como

Y = {a; a \in X e a s a t i s f a z a p r o p r i e d a d e P_{1}}

, considerando que

P_{1}

não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

$Y$ é subconjunto próprio de $X \Leftrightarrow Y \neq X$ e $Y \subset X, m a s X \subset̸ Y$ .

O $\emptyset \subset X$ , isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é, $X \subset̸ Y$ , basta exibir um $x \in X$ e provar que $x \in̸ Y$ .

Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que $X \subset̸ Y$ . Segue que $2 \in X$ , mas $2 \in̸ Y$ . Logo $X \subset̸ Y$ .