Análise real/Série

Definição de série

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:

• Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência

Dada uma sequência $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, como somaremos todos os seus termos? vamos tomar $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ como uma sequência de soma dos termos de $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Assim:

• $s_1=a_1$, $s_2=\sum _{n=1}^2{a}_n$, $s_m=\sum _{n=1}^m{a}_n$
• $s=\lim s_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

Convergência de uma série

Teste do termo geral

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.

Se $s=\lim s_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ é uma série convergente então $\lim a_n=0$

Demonstração

$a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k-\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k$

tomando limites, temos:

$\lim a_n=s-s=0$

Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela Predefinição:W $\sum _1^{\mathrm{\infty }}1/n$ que não é convergente, apesar de seu termo geral convergir para zero .

Propriedades de séries

Seja $\sum a_n=a,\sum b_n=b$ convergentes. Pelas propriedades de soma e produto

• $\sum a_n+\sum b_n=\sum (a_n+b_n)$ converge para a + b
• $t\sum a_n=\sum t{a}_n$ converge para ta
• $(\sum a_n)(\sum b_n)=$ converge para ab
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\Rightarrow \sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge para p.
  • $p=a-\sum _{n=1}^{n_0-1}{a}_n$
  • Se $a_n\ge 0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\Rightarrow p<a$

Exemplos

Série geométrica

A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n=1+r+r^2+r^3+\dots$

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

$\sum _{n=0}^N{r}^n=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}=\frac{1}{1-r}-\frac{r^{N+1}}{1-r}$

É facil ver que se $|r|<1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n=\frac{1}{1-r}$

Por outro lado, se $|r|\ge 1$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^n=\frac{a}{1-r}$

Onde "a" é o termo inicial da série.