Análise real/Produto Cartesiano

Conjunto de Pares ordenados

Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a, b) cuja primeira coordenada é "a" e a segunda é "b". Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e., $(a,b)=(c,d)\iff a=c\text{ e }b=d$.

Repare que $(a,b)\ne (b,a)$ salvo se a = b e que $(a,a)\ne a$. De maneira análoga definimos triplas ordenadas $(a,b,c)$ ou n-uplas ordenadas $(a_1,...,a_n)$.

Plano Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado $A\times B$) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que $a\in Aeb\in B$. Em símbolos: $A\times B=\{(a,b);a\in Aeb\in B\}$.

Ex.: $A\times A=\{(a,b);a\in Aeb\in A\}$ e, por simplicidade, o denotamos $A^2$.

Ex.: De maneira análoga definimos $A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in Bec\in C\},$

Ex.: $A^3=A\times A\times A,A^n=\begin{array}{c}\underbrace{A\times ...\times A}\\ nvezes\end{array}$

Ex: Sejam $A=\{1,2,3,4\}\text{ e }B=\{a,b,c\}\Rightarrow A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)\}$

Exemplos importantes de Planos Cartesianos: ${\mathbb{N}}^2=\mathbb{N}\times \mathbb{N};{\mathbb{Z}}^2=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z};{\mathbb{Q}}^2=\mathbb{Q}\times \mathbb{Q};{ℝ}^2=ℝ\times ℝ$.

Diagonal de um Plano Cartesiano

A diagonal mais simples é do quadrado $A^2:\mathrm{\Delta }(A^2)=\{(a,a);a\in A\}$. Da mesma forma temos a diagonal do quadrado $A^n:\mathrm{\Delta }(A^n)=\{\begin{array}{c}\underbrace{(a,a,...,a)}\\ nvezes\end{array};a\in A\}$

• Mas temos outras diagonais que exigem um pouco mais de elaboração como a de um retângulo $A\times B$. Supondo que o $\min (A),\min (B),\max (A),\max (B)<\mathrm{\infty }:$ $\mathrm{\Delta }(A\times B)=\{(\min (A),\min (B))+c(\max (A)-\min (A),\max (B)-\min (B));c\in [0,1]\}$

Ex.: $A=[2,12],B=[1,15]:\mathrm{\Delta }(A\times B)=\{(2,1)+c(10,14);c\in [0,1]\}$

Propriedades de Plano Cartesiano

• Dois pares ordenados são iguais se são iguais coordenada a coordenada, assim
  • $(a,b)=(c,d)\iff a=ceb=d$