Análise real/PA

Vamos definir PA de forma diferente para ter o que precisamos:

Sequência estacionária

Uma sequência estacionária é uma sequência numérica onde todos os seus termos são iguais.

• Ex. $(a_n)=(5,5,5,5,5,5,5)$.
  • O primeiro termo é o primeiro "5". O enésimo termo também será "5".

Essa sequência ao ser estudada no ensino médio, ela é vista como progressão aritmética de razão zero. Vamos defini-la como sequência estacionária.

PA de ordem 1

Vamos definir PA de ordem 1 como uma sequência não-estacionária, tal que a diferença dos seus termos seja uma sequência estacionária.

Vamos perceber que se a diferença for positiva, os termos são crescentes e se a diferença for negativa, os termos serão decrescentes. Como a diferença será constante, chamaremos a esse valor constante de razão.

• Ex. $(b_n)=(2,7,12,17,\mathrm{...})$ é uma sequência não estacionária, porque seus termos têm diferença constante de "5".

Sequência diferença

Vamos definir o operador diferença $\mathrm{\Delta }{b}_n=b_{n+1}-b_n$ e a sequência diferença $(a_n)=(\mathrm{\Delta }{b}_n)=(\mathrm{\Delta }{b}_1,\mathrm{\Delta }{b}_2,\mathrm{...})$.

• Retomando o exemplo anterior $(b_n)=(2,7,12,17,\mathrm{...})$. Vamos definir $a_n$:
• $\mathrm{\Delta }{b}_1=b_2-b_1=7-2=5;\mathrm{\Delta }{b}_2=b_3-b_2=12-7=5$.
• Assim $(a_n)=(5,5,5,\mathrm{...})$

PA de ordem 3

• Vamos tomar $(a_n)$ uma sequência cujo termo $a_n$ é determinado por um polinômio $a_n=n^3-n$.
  • A sequência $(a_n)=(0,6,24,60,120,210,\mathrm{...})$ não é uma sequência estacionária.
• Vamos tomar a sequência diferença de $(a_n)$. Assim $\mathrm{\Delta }(a_n)=(6,18,36,60,90,\mathrm{...})$
  • Vemos que $\mathrm{\Delta }{a}_1=a_2-a_1=6-0=6$ é diferente de $\mathrm{\Delta }{a}_2=a_3-a_2=24-6=18$.
  • Logo $(\mathrm{\Delta }(a_n))$ não é uma sequência estacionária.
  • Mas $\mathrm{\Delta }(a_n)=a_{n+1}-a_n=(n+1{)}^3-(n+1)-(n^3-n)=n^3+3n^2+3n+1-n-1-n^3+n\Rightarrow \mathrm{\Delta }{a}_n=3n^2+3n$
• Vamos tomar a sequência diferença de $(\mathrm{\Delta }{a}_n)$. Assim ${\mathrm{\Delta }}^2(a_n)=(12,18,24,30,\mathrm{...})$
  • Vemos que ${\mathrm{\Delta }}^2{a}_1=\mathrm{\Delta }{a}_2-\mathrm{\Delta }{a}_1=18-6=12$ é diferente de ${\mathrm{\Delta }}^2{a}_2=\mathrm{\Delta }{a}_3-\mathrm{\Delta }{a}_2=36-18=18$.
  • Logo ${\mathrm{\Delta }}^2(a_n)$ não é uma sequência estacionária.
  • Mas ${\mathrm{\Delta }}^2(a_n)=a_{n+1}-a_n=3(n+1{)}^2+3(n+1)-(3n^2+3n)=3n^2+6n+3+3n+3-3n^2-3n\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^2{a}_n=+6n+6$
• Vamos tomar a sequência diferença de $({\mathrm{\Delta }}^2{a}_n)$. Assim ${\mathrm{\Delta }}^3(a_n)=(6,6,6,6,\mathrm{...})$
  • Vemos que ${\mathrm{\Delta }}^3{a}_1={\mathrm{\Delta }}^2{a}_2-{\mathrm{\Delta }}^2{a}_1=18-12=6$ é igual de ${\mathrm{\Delta }}^3{a}_2={\mathrm{\Delta }}^2{a}_3-{\mathrm{\Delta }}^2{a}_2=24-18=6$.
  • Logo ${\mathrm{\Delta }}^3(a_n)$ é uma sequência estacionária.
  • Mas ${\mathrm{\Delta }}^3(a_n)=a_{n+1}-a_n=6(n+1)+6-(6n+6)=6n+6+6-6n-6\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^3{a}_n=6$
• Como $({\mathrm{\Delta }}^3{a}_n)$ é uma sequência estacionária, logo $({\mathrm{\Delta }}^2{a}_n)$ é uma PA de ordem 1, logo $(\mathrm{\Delta }{a}_n)$ é uma PA de ordem 2, logo $(a_n)$ é uma PA de ordem 3.
  • Percebemos que $({\mathrm{\Delta }}^3{a}_n)$ sendo uma sequência estacionária, tem seu termo geral sendo um polinômio constante.
  • Percebemos que $({\mathrm{\Delta }}^2{a}_n)$ é uma PA de ordem 1, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 1.
  • Percebemos que $(\mathrm{\Delta }{a}_n)$ é uma PA de ordem 2, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 2.
  • Percebemos que $(a_n)$ é uma PA de ordem 3, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 3.

Somatório de uma PA

O somatório dos termos de uma PA $(a_n)$ de ordem 1, do primeiro ao enésimo-termo é dada por: $\sum a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

• Percebemos que $\sum a_n=\frac{1}{2}\cdot (n(a_1+a_n))=\frac{1}{2}\cdot (n{a}_1+n(a_1+(n-1)r)=\frac{1}{2}\cdot (2n{a}_1+n(n-1)r)=\frac{1}{2}\cdot (n^2+r(2a_1-1)n)$ é um polinômio em n de grau 2.

Exemplo

• $a_n=n^3-n$ é um polinômio em n de grau 3.
  • Vemos que $\sum a_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=1^3-1+\mathrm{...}+(n-1{)}^3-(n-1)+n^3-n=(1^3+2^3+\mathrm{...}+n^3)-(1+2+\mathrm{...}+n)=$
  • $=(\frac{n(n+1)}{2}{)}^2-(\frac{n(1+n)}{2})=(\frac{n^2(n+1{)}^2}{4})-(\frac{2n(1+n)}{4})=(\frac{n^2(n+1{)}^2-2n(1+n)}{4})=\frac{1}{4}\cdot (n(1+n)(n^2+n-2))$.
  • $\sum a_n$ é um polinômio em n de grau 4.
• $\mathrm{\Delta }{a}_n=3n^2+3n$ é um polinômio em n de grau 2.
  • Vemos que $\sum \mathrm{\Delta }{a}_n=\mathrm{\Delta }{a}_1+\mathrm{\Delta }{a}_2+\mathrm{...}+\mathrm{\Delta }{a}_n=(3\cdot 1^2+3\cdot 1)+(3\cdot 2^2+3\cdot 2)+\mathrm{...}+3\cdot n^2+3\cdot n=$
  • $=3\cdot (1^2+2^2+\mathrm{...}+n^2)+3\cdot (1+2+\mathrm{...}+n)=\frac{3n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{3n(1+n)}{2}=$
  • $=\frac{n(n+1)(2n+1)+3n(1+n)}{2}=\frac{2n(n+1)(n+2)}{2}=n(n+1)(n+2)$
  • $\sum \mathrm{\Delta }{a}_n$ é um polinômio em n de grau 3.
• ${\mathrm{\Delta }}^2{a}_n=+6n+6$
  • Vemos que $\sum {\mathrm{\Delta }}^2{a}_n={\mathrm{\Delta }}^2{a}_1+{\mathrm{\Delta }}^2{a}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\Delta }}^2{a}_n=6\cdot 1+6+6\cdot 2+6+\mathrm{...}+6n+6=6\cdot (1+2+\mathrm{...}+n)+6n=$
  • $=6\cdot \frac{n(1+n)+6n}{2}=3n(1+n)+6n=3n^2+9n$
  • $\sum {\mathrm{\Delta }}^2{a}_n$ é um polinômio em n de grau 2.
• ${\mathrm{\Delta }}^3{a}_n=6$
  • Vemos que $\sum {\mathrm{\Delta }}^3{a}_n={\mathrm{\Delta }}^3{a}_1+{\mathrm{\Delta }}^3{a}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\Delta }}^3{a}_n=\begin{array}{c}\underbrace{6+6+\mathrm{...}+6}\\ n\end{array}=\frac{n(6+6)}{2}=6n$ que é um polinômio de 1º grau.

grau e ordem de uma PA

Uma sequência $(a_n)$ é uma PA de ordem p se, e somente se, $a_n$ é um polinômio de grau p.

• Vamos fazer indução sobre p
• Vamos mostrar que é válido para p=1
  • Tome $(a_n)$ uma PA de ordem 1 $\Rightarrow a_n=a_1+(n-1)r=rn+a_1-r$ que é um polinômio de grau 1
  • Tome $a_n=an+b$ um polinômio de ordem 1 $\Rightarrow (a_n)=(a+b,2a+b,\mathrm{...})\Rightarrow \mathrm{\Delta }(a_n)=(a,a,\mathrm{...})$ que nos diz que $(a_n)$ é uma PA de ordem 1.
• Vamos mostrar que é válido para p=2
  • Seja $(a_n)$ uma PA de ordem 2 $\Rightarrow (\mathrm{\Delta }{a}_n)$ é uma PA de ordem 1, ou seja $\mathrm{\Delta }{a}_n=\mathrm{\Delta }{a}_1+(n-1)r$
  • Assim $\sum \mathrm{\Delta }{a}_n$ é um polinômio de grau 2, onde $\sum \mathrm{\Delta }{a}_n=\mathrm{\Delta }{a}_1+\mathrm{\Delta }{a}_2+\mathrm{...}+\mathrm{\Delta }{a}_n=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\mathrm{...}+(a_{n+1}-a_n)=a_{n+1}-a_1$
  • Como $\sum \mathrm{\Delta }{a}_n=\frac{n(\mathrm{\Delta }{a}_1+\mathrm{\Delta }{a}_n)}{2}=\frac{n(2\mathrm{\Delta }{a}_1+(n-1)r)}{2}$ que é um polinômio de grau 2
  • Tome $a_n=an+b$ um polinômio de ordem 1 $\Rightarrow (a_n)=(a+b,2a+b,\mathrm{...})\Rightarrow \mathrm{\Delta }(a_n)=(a,a,\mathrm{...})$ que nos diz que $(a_n)$ é uma PA de ordem 1.