Análise real/Operação

Operações entre conjuntos

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

• $SejaX\subset K,X=\{x\in K;xgozadapropriedadeP\}$
• Ex: $K=\{\mathrm{...},-3,-2,-1,0,1,\mathrm{...}\},X=\{x\in K;x>0\}=\{1,2,3,4,\mathrm{...}\}$
  • Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

União

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

• $SejaA,B\subset K,A\cup B=\{x\in K;x\in Aoux\in B\}$
  • Veremos mais para frente que $A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B)$ ao qual são três conjuntos disjuntos
• Temos que $A,B\subset A\cup B$.

Propriedades Básicas:

• NULO: $A\cup \varnothing =A$
  • Basta verificarmos que $A\cup \varnothing \subset A$ e depois que $A\subset A\cup \varnothing$. Assim $\mathrm{\forall }x\in A\cup \varnothing \iff x\in A$
• IDENTIDADE: $A\cup A=A$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cup A\iff x\in Aoux\in A\iff x\in A$
• COMUTATIVIDADE: $A\cup B=B\cup A$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cup B\iff x\in Aoux\in B\iff x\in Boux\in A\iff x\in B\cup A$
• SUBCONJUNTO: $A\cup B=A\iff B\subset A$
  • $\Rightarrow :A\cup B\subset A\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in B,teremosx\in A\Rightarrow B\subset A.$
  • $\Leftarrow :\mathrm{\forall }x\in A\Rightarrow x\in Aoux\in B\Rightarrow x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\cup B,logo$ $A\subset A\cup B$.
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cup B\Rightarrow x\in Aoux\in B,comoB\subset A\Rightarrow x\in A\Rightarrow A\cup B\subset A.PortantoA\cup B=A$
• ASSOCIATIVA: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).$
  • $\mathrm{\forall }x\in (A\cup B)\cup C\iff (x\in Aoux\in B)oux\in C\iff x\in Aoux\in Boux\in C\iff x\in Aou(x\in Boux\in C)\iff x\in A\cup (B\cup C).$
• $A\subset BeC\subset D\Rightarrow A\cup C\subset B\cup D$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cup C\Rightarrow x\in Aoux\in C,comoA\subset B,C\subset D,logox\in Boux\in D\iff x\in B\cup D.$

Intersecção

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

• $SejaA,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in Aex\in B\},ouseja,x\in A\cap B\Rightarrow x\in Aex\in B$

Exemplos:

• NULO: $A\cap \varnothing =\varnothing .$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cap \varnothing \iff x\in Aex\in \varnothing \iff x\in \varnothing .$
• IDENTIDADE: $A\cap A=A.$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cap A\iff x\in Aex\in A\iff x\in A.$
• COMUTATIVIDADE: $A\cap B=B\cap A.$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cap B\iff x\in Aex\in B\iff x\in Bex\in A\iff x\in B\cap A.$
• SUBCONJUNTO: $A\cap B=B\iff B\subset A.$
  • $\Rightarrow :\mathrm{\forall }x\in B,comoB\subset A\cap B\Rightarrow x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\Rightarrow B\subset A.$
  • $\Leftarrow :ComoB\subset A\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in B\Rightarrow x\in A\Rightarrow x\in Aex\in B\Rightarrow x\in A\cap B,logo$ $B\subset A\cap B$.
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cap B\Rightarrow x\in Aex\in B\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\cap B\subset B.PortantoA\cap B=B.$
• ASSOCIATIVA: $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C).$
  • $\mathrm{\forall }x\in (A\cap B)\cap C\iff x\in A\cap Bex\in C\iff (x\in Aex\in B)ex\in C\iff x\in Aex\in Bex\in C\iff$

$\iff x\in Ae(x\in Bex\in C)\iff x\in Aex\in B\cap C\iff x\in A\cap (B\cap C).$

• $A\subset BeC\subset D\Rightarrow A\cap C\subset B\cap D$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cap C\Rightarrow x\in Aex\in C,comoA\subset B,C\subset D,logox\in Bex\in D\iff x\in B\cap D.$

Diferença

A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:

• $SejaA,B\subset K,A-B=\{x\in K;x\in Aex\in ̸B\}$.
• $A\setminus BeA-B$ significam a mesma coisa.

Exemplo 1

• $A\setminus B=A\cap B^C$
  • $Tomex\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\wedge x\in ̸B\Rightarrow x\in A\wedge x\in B^C\Rightarrow x\in A\cap B^C\Rightarrow A\setminus B\subset A\cap B^C$.
  • $Tomex\in A\cap B^C\Rightarrow x\in A\wedge x\in B^C\Rightarrow x\in A\wedge x\in ̸B\Rightarrow x\in A\setminus B\Rightarrow A\cap B^C\subset A\setminus B$.

Exemplo 2

• $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$
  • $Tomex\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\wedge x\in ̸B\Rightarrow x\in A\wedge x\in B^C$.
    • $ComoA\cap B\subset B\Rightarrow B^C\subset (A\cap B{)}^C$. Logo $x\in B^C\Rightarrow x\in (A\cap B{)}^C$.
    • $Portantox\in A\wedge x\in B^C\Rightarrow x\in A\wedge x\in (A\cap B{)}^C\Rightarrow x\in A\cap (A\cap B{)}^C\Rightarrow x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow A\setminus B\subset A\setminus (A\cap B)$.
  • $Tomex\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow x\in A\wedge x\in ̸(A\cap B)\Rightarrow x\in A\wedge x\in (A\cap B{)}^C$.
    • $(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C.Logox\in (A\cap B{)}^C\Rightarrow x\in A^C\cup B^C\Rightarrow x\in ̸A\vee x\in ̸B$
    • $Assimx\in A\wedge x\in (A\cap B{)}^C\Rightarrow x\in A\wedge (x\in ̸A\vee x\in ̸B)\Rightarrow (x\in A\wedge x\in ̸A)\vee (x\in A\wedge x\in ̸B)\Rightarrow (x\in A\wedge x\in ̸B)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\Rightarrow$
    • $\Rightarrow A\setminus (A\cap B)\subset A\setminus B$.

Exemplo 3

• $A,B\subset K;talqueA\cap B=\varnothing ,A\cup B=K\Rightarrow K-A=B\wedge K-B=A$.

Exemplo 4

• $A-A=\varnothing$.
  • Suponha que $A-A\ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{\exists }x\in A-A\Rightarrow \mathrm{\exists }x\in Aex\in ̸A$. Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.

teorema

• $A\setminus B=\varnothing \iff A\subset B$.
  • $\Rightarrow :A\setminus B=\varnothing \Rightarrow \mathrm{\forall }x\in A,x\in B\Rightarrow A\subset B$.
  • $\Leftarrow :SuponhaqueA-B\ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{\exists }x\in A\setminus B\Rightarrow \mathrm{\exists }x\in A,x\in ̸B.Absurdo,poisA\subset B,\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in A,x\in B$.
• $A-B=A\iff A\cap B=\varnothing$.
  • $\Rightarrow :A=A-B\Rightarrow A\subset A-B\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in A,x\in A-B\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in A,x\in ̸B\Rightarrow A\cap B=\varnothing$.
  • $\Leftarrow :A\cap B=\varnothing \Rightarrow \mathrm{\forall }x\in A,x\in ̸B\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in A,x\in A-B\Rightarrow A\subset A-B$.
    • $\mathrm{\forall }x\in A-B\Rightarrow x\in A,x\in ̸B\Rightarrow A-B\subset A$.
    • $\therefore A=A-B$.
• $A-B=\varnothing =B-A\iff A=B$.
  • $\Rightarrow :A-B\subset B-A\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in A,x\in B\Rightarrow A=B$.
  • $\Leftarrow :A=B\Rightarrow dadox\in A-B,x\in A,x\in ̸B\Rightarrow x\in Bex\in ̸B\Rightarrow A-B=\varnothing$. Analogamente $B-A=\varnothing$.

teorema

• $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C\iff A\cap C=\varnothing$
  • $A\setminus (B\setminus C)=A\setminus (B\setminus (B\cap C))=A\setminus (B\setminus ((B\cap C)\cap A)\cup ((B\cap C)\setminus A))=A\setminus (B\setminus ((A\cap B\cap C)\cup ((B\cap C)\setminus A)))=\mathrm{...}$ $\mathrm{...}=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap B\cap C)\}$. Como $A\cap B\cap C\subset A\cap C\subset A\Rightarrow A\setminus (B\setminus C)=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap C)\}$
  • $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus B)\setminus (A\cap C)$
  • $\therefore A\setminus (B\setminus C)=((A\setminus B)\setminus C)\cup (A\cap C)$

Diferença Simétrica

• Definição 1: $A\mathrm{\Delta }B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=\{x\in U;x\in A\cup Bex\in ̸A\cap B\}$
• Definição 2: $A\mathrm{\Delta }B=(A\setminus B)\cup (A\setminus B)$

teorema

Teorema: Mostrar que $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Prova:

• $Tomex\in (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\vee x\in (B\setminus A)\Rightarrow (x\in A\wedge x\in ̸B)\vee (x\in B\wedge x\in ̸A)\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [(x\in A\wedge x\in ̸B)\vee x\in B]\wedge [(x\in A\wedge x\in ̸B)\vee x\in ̸A]\Rightarrow [(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in ̸B\vee x\in B)]\wedge [(x\in A\vee x\in ̸A)\wedge (x\in ̸B\vee x\in ̸A)]\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in ̸B\vee x\in B)]\wedge [(x\in A\vee x\in ̸A)\wedge (x\in ̸B\vee x\in ̸A)]\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\wedge [x\in B^C\vee x\in A^C]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\wedge [x\in (B^C\cup A^C)]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\wedge [x\in (B\cap A{)}^C]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\wedge [x\in ̸(B\cap A)]\Rightarrow$
  • $[x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)]$
• $\Rightarrow (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\subset (A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Distributividade do conjuntos

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cap (B\cup C)\iff x\in Aex\in B\cup C\iff x\in Ae(x\in Boux\in C)\iff$ $\iff (x\in Aex\in B)ou(x\in Aex\in C)\iff x\in A\cap Boux\in A\cap C\iff x\in (A\cap B)\cup (A\cup C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cup (B\cap C)\iff x\in Aoux\in B\cap C\iff x\in Aou(x\in Bex\in C)\iff$ $\iff (x\in Aoux\in B)e(x\in Aoux\in C)\iff x\in A\cup Bex\in A\cup C\iff x\in (A\cup B)\cap (A\cap C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C\iff A-C=\varnothing$
  • $\Rightarrow :A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)$. Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que $A-C=\varnothing$.
  • $AoobservaraigualdadeA\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)$, que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese, $A-C=\varnothing$, é suficiente para dizermos que $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$