Análise real/Números inteiros

Relação de equivalência no conjunto ${\mathbb{N}}^2$

A relação ~ em ${\mathbb{N}}^2$ ao ser definida por:

• $(a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c$

é uma relação de equivalência se, e somente se for:

• (reflexiva) $\mathrm{\forall }(a,b)\in {\mathbb{N}}^2$:
  • $(a,b)\sim (a,b)\iff a+b=b+a$
• (simétrica) $\mathrm{\forall }(a,b),(c,d)\in {\mathbb{N}}^2$:
  • $(a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c\iff d+a=c+b\iff (c,d)\sim (a,b)$
• (transitiva) $\mathrm{\forall }(a,b),(c,d),(p,q)\in {\mathbb{N}}^2$:
  • $(a,b)\sim (c,d)e(c,d)\sim (p,q)\iff a+d=b+cec+q=d+p\iff a+d+c+q=b+c+d+p\iff a+q=b+p\iff (a,b)\sim (p,q)$

Partição de ${\mathbb{N}}^2$

Podemos dividir o conjunto de ${\mathbb{N}}^2$ em partições disjuntas cuja união é o próprio ${\mathbb{N}}^2$. Tome as partições da forma [1,n] ou [n,1]. Vamos usar a tricotomia entre 1 e n.

• caso n=1, eles coincidem com $[(1,1)]=\{(a,b)\in {\mathbb{N}}^2\}:(a,b)\sim (1,1)\}$
• caso em que $n\ne 1$:
  • $[(1,n)]=\{(a,b)\in {\mathbb{N}}^2\}:(a,b)\sim (1,n)\}$
  • $[(n,1)]=\{(a,b)\in {\mathbb{N}}^2\}:(a,b)\sim (n,1)\}$
• Assim podemos dizer que ${\mathbb{N}}^2/\sim =\{[1,1]\}\cup \{x\in {\mathbb{N}}^2:x=[(1,n)]:n\in \mathbb{N}\}\cup \{x\in {\mathbb{N}}^2:x=[(n,1)]:n\in \mathbb{N}\}$
• De forma geral dizemos que o conjunto quociente:
  • ${\mathbb{N}}^2/\sim =\{[(a,b)]\in {\mathbb{N}}^2\}:(a,b)\in {\mathbb{N}}^2\}$

Adição em ${\mathbb{N}}^2$

Ao somarmos dois elementos de ${\mathbb{N}}^2$, o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.

• $\oplus :{\mathbb{N}}^2\times {\mathbb{N}}^2\mapsto {\mathbb{N}}^2$. Vamos definir A por:
  • $[(a,b)]\oplus [(c,d)]=[(a+c,b+d)]$.

Vamos mostrar que $\oplus$ é uma relação bem definida.

• Tome $(a^{\prime },b^{\prime })\in [(a,b)]e(c^{\prime },d^{\prime })\in [(c,d)]\Rightarrow (a^{\prime },b^{\prime })\sim (a,b)e(c^{\prime },d^{\prime })\sim (c,d)\Rightarrow$
  • $\Rightarrow a^{\prime }+b=b^{\prime }+ae{c}^{\prime }+d=d^{\prime }+c\Rightarrow (a+c)+(b^{\prime }+d^{\prime })=(a^{\prime }+c^{\prime })+(b+d)\Rightarrow$
  • $\Rightarrow (a+c,b+d)\sim (a^{\prime }+c^{\prime },b^{\prime }+d^{\prime })\Rightarrow [(a+c,b+d)]=[(a^{\prime }+c^{\prime },b^{\prime }+d^{\prime })]$
  • Ex. $[(1,2)]\oplus [(3,4)]=[(1+3,2+4)]=[(4,6)]$
    • $(4,6)\sim (1,n)\iff 4+n=1+6\iff 4+n=4+3\iff n=3\iff (4,6)\sim (1,3)$ Assim podemos já resolver equações do 1º grau ao igualarmos qualquer elemento de ${\mathbb{N}}^2$ para a sua forma mais resumida (1,1), (1,n),(n,1).
• (exercício) Prove que $(a,b)\sim y$, onde $y\in \{(1,x),(1,1),(x,1)\}$ só haverá solução em ${\mathbb{N}}^2$ se igualarmos a apenas um dos valores que y pode assumir.

Multiplicação em ${\mathbb{N}}^2$

Ao multiplicarmos dois elementos de ${\mathbb{N}}^2$, o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.

• $\odot :{\mathbb{N}}^2\times {\mathbb{N}}^2\mapsto {\mathbb{N}}^2$. Vamos definir A por:
  • $[(a,b)]\odot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]$.

Vamos mostrar que $\odot$ é uma relação bem definida.

• Tome $(a^{\prime },b^{\prime })\in [(a,b)]e(c^{\prime },d^{\prime })\in [(c,d)]\Rightarrow (a^{\prime },b^{\prime })\sim (a,b)e(c^{\prime },d^{\prime })\sim (c,d)\Rightarrow$
  • ... (exercício)
  • $\Rightarrow (ac,bd)(a^{\prime }{c}^{\prime },b^{\prime }{d}^{\prime })\Rightarrow [(ac,bd)]=[(a^{\prime }{c}^{\prime },b^{\prime }{d}^{\prime })]$