Análise real/Isomorfismo

Partição de um conjunto e União Disjunta

Podemos dividir um conjunto em suas partições disjuntas de forma que se unirmos tudo teremos novamente o conjunto:

• O conjunto dos inteiros pode ser dividido em dois grupos de mesma cardinalidade, o conjunto dos pares e dos impares, assim
  • Pares = {...,-4,-2,0,2,4,...}
  • Impares = {...,-5,-3,-1,1,3,5,...)}
  • $\mathbb{Z}=Pares\cup Impares$

Relação de Equivalência

Um subconjunto R de $A^2$ é uma relação de equivalência em A se, e somente se,

• $(a,a)\in R,\mathrm{\forall }a\in A$
• $(a,b)\in R,\to (b,a)\in R$
• $(a,b)\in Re(b,c)\in R\to (a,c)\in R$

Relação Binária

A relação binária ~ sobre A é uma relação de equivalência sobre A se:

• $a\sim a,\mathrm{\forall }a\in A$ (reflexiva)
• $a\sim b\to b\sim a$ (simétrica)
• $a\sim beb\sim c\to c\sim a$ (transitiva)

classe de equivalência

Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência em A, então a classe de equivalência de a em A é o conjunto de todos os elementos que têm relação com a:

• $[a]=\{x\in A:x\sim a\}$.

Pares e impares dos inteiros

Pares:

• $[0]=\{x\in \mathbb{Z}:x\sim 0,sex-0=par\}$
• $[0]=\{\mathrm{...},-4,-2,0,2,4,\mathrm{...}\}$

Impares

• $[1]=\{x\in \mathbb{Z}:x\sim 1,sex-1=impar\}$
• $[1]=\{\mathrm{...},-5,-3,-1,1,3,5,\mathrm{...}\}$

Conjunto quociente

O conjunto das classes de equivalência de uma relação de equivalência ~ em A é chamado de conjunto quociente de A sobre ~, que será escrito como A/~.

Exemplo

Como vimos acima, foi definido no conjunto dos inteiros uma relação de equivalência separando o conjunto dos inteiros em duas partições tal que a união disjusta:

• $Z/\sim =\{[0],[1]\}$

O Conjunto $\mathbb{N}\times \mathbb{N}={\mathbb{N}}^2$

• $\mathbb{N}\times \mathbb{N}=\{(a,b)\in {\mathbb{N}}^2:a,b\in \mathbb{N}\}$

Operações nos naturais

Seja s a função das somas naturais onde s(a,b) é a soma entre a e b.

• $s:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\setminus \{1\}\mapsto \mathbb{N},ondes(m,n)=m+n$
  • Ex: $s(1,1)=1+1=2$

Seja d a função que multiplica dois naturais onde d(a,b) é a multiplicação entre a e b

• $d:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\mapsto \mathbb{N},onded(m,n)=m\cdot n$
  • $Ex:d(1,1)=1\cdot 1=2$

Aplicação entre ${\mathbb{N}}^2$ e $\mathbb{Z}$

• Consideremos uma aplicação $\mathrm{\Psi }:{\mathbb{N}}^2\mapsto \mathbb{Z}$.