Análise real/Indução(Problemas)

Exemplo 1

Mostrar que, para todo  $n \in ℕ, 4^{n} + 6 n - 1$  é divisível por 9.

Prova:

Mostrar que é válido para n = 1, $4^{1} + 6 \cdot 1 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9$ e 9 é divisível por 9.
Supor válido para n = k, ou seja, $4^{k} + 6 \cdot k - 1 = 9 t$ , para algum t natural. Também $4^{k} = 9 t - 6 \cdot k + 1$
Mostrar válido para n = k+1, ou seja, 4k+1+6⋅(k+1)−1=9t′, para algum t′ natural.
- $4^{k + 1} + 6 \cdot (k + 1) - 1 =_{1} 4 \cdot 4^{k} + 6 k + 6 - 1 =_{2} 4 \cdot (9 t + 1 - 6 k) + 6 k + 5 =_{3} 36 t + 4 - 24 k + 6 k + 5 =_{4} 36 t - 18 k + 9 =_{5} 9 \cdot (4 t - 2 k + 1)$
- onde a igualdade 1 é pela propriedade de potência, a igualdade 2 é pela hipótese de indução, as igualdades 3 e 5 pela propriedade distributiva e a igualdade 4 pela soma dos termos.