Análise real/Inclusão

Propriedades da relação de inclusão

reflexidade

$X\subset X$

• Ao tomarmos um elemento do primeiro conjunto, este elemento também pertence ao segundo conjunto. Assim todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

antisimetria

$X\subset Y,Y\subset X\Rightarrow X=Y$

• prova: tome $x\in X,\text{ como }X\subset Y\Rightarrow x\in Y,\text{ ou tome }y\in Y,\text{ como }Y\subset X\Rightarrow y\in X\Rightarrow X=Y$

transitividade

$X\subset Y,Y\subset Z\Rightarrow X\subset Z$

• prova: dado $x\in X,comoX\subset Y\Rightarrow x\in Y,masY\subset Z\Rightarrow x\in Z\Rightarrow X\subset Z$

Relação de dois conjuntos

Igualdade

Um conjunto é igual ao outro se um conjunto é subconjunto do outro. Não podendo ser subconjunto próprio. $Y=X\iff Y\subset XeX\subset Y$.

Disjuntos

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

• $SejaA,B\subset K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow A,B$ são disjuntos.

Exemplos:

• $A\cap A=A$. Logo A não é disjunto dele próprio.
• $A\cap B=B$. Logo A,B não são disjuntos.
• $SejaA=\{\mathrm{...},-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,\mathrm{...}\};A\cap B=\varnothing$. Logo A,B são disjuntos.