Análise real/Funções

Função

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função $f:A\mapsto B$ (lê-se função f de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de A e B que a cada $x\in A$ associa um único elemento $f(x)$ (lê-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A é o domínio de f enquanto que B é o contradomínio de f.

Note que não pode haver exceção à regra: todo $x\in A$ possui uma imagem $f(x)\in B$. Por outro lado, pode existir $y\in B$ que não seja imagem de nenhum $x\in A$. Note também que, dado $x\in A$, não pode haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento $y\in B$ pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer $f(x_1)=f(x_2)$ com $x_1\ne x_2$.

Conjuntos Básicos de uma função

Domínio de uma Função

Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes: Sejam $f:A_1\mapsto B\wedge g:A_2\mapsto B$, onde f e g tenham regras iguais.

• $f$ é uma função se $f(A_1)\subset Beg$ é uma função se $g(A_2)\subset B.$
• Exemplo: $f:2\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}eg:(2\mathbb{Z}-1)\mapsto \mathbb{Z},comf(x)=x+2eg(x)=x+2$.
  • $f(2)=2+2=4eg(3)=3+2=5$. Mas certamente $f(3)eg(2)$ não existem porque $2\in ̸2\mathbb{Z}-1e3\in ̸2\mathbb{Z}$.
  • Mas podemos definir uma função $h(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& \text{se }x\text{ é par}\\ g(x),& \text{se }x\text{ é ímpar}\end{array}=$ $\{\begin{array}{cc}x+2,& \text{se }x\text{ é par}\\ x+2,& \text{se }x\text{ é ímpar}\end{array}\Rightarrow h:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z},ondeh(x)=x+2$

Imagem e Contra-domínio de uma Função

Seja $f:A\mapsto B,B^{\prime }\subset B$.

Definamos $B^{\prime }=\{y\in B;\mathrm{\exists }x\in A:talquey=f(x)=y\}=\{f(x);x\in A\}$. B' é o conjunto imagem, enquanto que B é o contra-domínio,

• $\mathrm{\forall }x\in A:f:A\mapsto B\Rightarrow \mathrm{\exists }!y\in B;talque;f(x)=y$. y =f(a) é dito imagem de a pela função f ou valor da função aplicada em x = a.

Imagem Inversa de uma Função

Dado $f:A\mapsto B$, uma função que relaciona cada $x\in A$ com um $f(x)\in B$.

• A imagem inversa de um $y\in B$ vai existir se existir um $x\in A,talquef(x)=y,ouseja,x=f^{-1}(y).$
  • Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
  • Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y.

Exemplo

• Tome $f:3\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z},sendoquef(x)=2x$. O conjunto Imagem de f é o conjunto $I{m}_f=\{y\in \mathbb{Z},talquey=f(x),paraalgumx\in 3\mathbb{Z}\}=$
  • Como $x\in 3\mathbb{Z}\Rightarrow x=3k,paraalgumk\in \mathbb{Z}.Comof(x)=2x\Rightarrow f(x)=2\cdot 3k,paraalgumk\in \mathbb{Z}\Rightarrow f(x)=6k,paraalgumk\in \mathbb{Z}$
  • Assim, o conjunto $I{m}_f=\{y\in \mathbb{Z},talquey=6k,paraalgumk\in \mathbb{Z}\}=6\mathbb{Z}$
• O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto $\{x\in A,talquef(x)=y,\mathrm{\forall }y\in I{m}_f\}=$ $=\{x\in A,talquex=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y),\mathrm{\forall }y\in I{m}_f\}=A$.
• Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo $x=f^{-1}(f(x))$

Gráfico "Algébrico" de uma função

Seja $f:A\mapsto B;f(A)\subset B$. O gráfico da função f é o conjunto $G(f)=\{(a,f(a));a\in A\}$.

Exemplos Básicos de Função

Função Identidade

Uma função $I:A\mapsto B$ é chamada função identidade se $\mathrm{\forall }x\in A,I(x)=x.$ Implicações:

• $A\subset B$.
• a imagem inversa de $x\in B,$ sempre será $x\in A,ouseja,I^{-1}(x)=x.$.

Função Constante

Uma função $f:A\mapsto B,f(x)=c$ é chamada função constante se $\mathrm{\forall }x\in A,f(x)=c.$ Implicações:

• $c\in B$ é a única imagem da função, ou seja, $I{m}_f=\{c\}$.

Função Característica

Dado $A\subset C$, definimos a função característica ou indicadora de A por $I_A:C\mapsto \{0,1\}$ (também denotada por $X_A$ ) por $I_A(x)=\{\begin{array}{c}0,\text{ se }x\in ̸A\\ 1,\text{ se }x\in A\end{array}$.

A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que $I:P(C)\mapsto F(C;\{0,1\})\text{ ou }I\in F(P(C);F(C;\{0,1\}))$, pois I associa a cada subconjunto $A\in P(C)$ a função $I_A$.