Análise real/Exercícios 7

Problema 1

Considere a seguinte seqüência de funções $f_n:{ℝ}_{+}^{\ast }\to ℝ$ dada pela relação de recorrência:

$\begin{array}{c}{f}_1(x)=x\\ f_n(x)=\frac{1}{2}[f(x)+\frac{x}{f(x)}]\end{array}$

Mostre que:

• $f_n(x)\to \sqrt{x}$ pontualmente
• $f_n(x)\to \sqrt{x}$ uniformemente em cada intervalo $[a,b]$ contanto que $0<a<b$.
• a convergência não é uniforme em nenhum intervalo do tipo $(0,a)$ nem do tipo $(a,\mathrm{\infty })$ com $a>0$.

Problema 2

Considere a seqüência de funções indexada pelos índices $n$ e $m$:

• $f_{mn}(x)={\cos }^{2n}(m!\pi x)x\in ℝ,n=1,2,3,\dots$

Mostre que:

• $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{mn}(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& \text{c.c.}\end{array}$

Problema 3

Considere a seqüência de funções $f_n:[0,1]\to ℝ$ definidas por:

• $f_n=\{\begin{array}{cc}{n}^{2}x,& x\in [0,1/n]\\ 2n-n^{2}x,& x\in (1/n,2/n)\\ 0,& x\in [2/n,1]\end{array}$

Mostre que

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=0$

não obstante

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(x)dx=1/2$

Problema 4

Defina $f_n:ℝ\to ℝ$ como:

• $f_n=\{\begin{array}{cc}1/n,& x\in |x|<n\\ 0,& x\in |x|\ge n\end{array}$

Mostre que

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=0$ uniformemente

não obstante

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(x)dx=2$

Problema 5

Seja a seqüência de funções $f_n:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$ dada por:

• $f_n(x)=\{\begin{array}{cc}{(1-\frac{x}{n})}^n,& x\in [0,n]\\ 0,& x\in (n,\mathrm{\infty })\end{array}$

Mostre que:

• $0\le f_n(x)\le e^{-x}$
• $f_n(x)\to e^{-x}$ uniformemente em $[0,M]$ para cada $M>0$

Conclua, provando que:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^n{(1-\frac{x}{n})}^n=1$

Problema 6

Construa uma seqüência de funções contínuas em $[0,1]$ convergindo pontualmente para um função que não é integrável à Riemann.