Análise real/Exercícios 1

1. Prove que não existe um racional cujo quadrado é 2.
2. O conjunto dos reais é não-enumerável
   • (prova)
3. O conjunto dos racionais é um conjunto enumerável
   • a) Sabemos que se $\varphi :\mathbb{N}\mapsto P$ é uma função bijetora, logo P é um conjunto enumerável
   1. • i) Então $\varphi :1\times \mathbb{N}\mapsto P_1$ também é bijetora
      • ii) Assim $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z};\varphi :a\times \mathbb{N}\mapsto P_a$ é bijetora
   • b) $\bigcup _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\varphi :a\times \mathbb{N}\mapsto P_a;\Rightarrow \varphi :\bigcup _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}a\times \mathbb{N}\mapsto \bigcup _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{P}_a$
     • i) Sabemos que $\mathbb{Z}=\bigcup _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}a$. Basta mostrar que $\mathbb{Q}=\bigcup _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{P}_a$ para que tenhamos a função $\varphi :\mathbb{Z}\times \mathbb{N}\mapsto \mathbb{Q}$ onde $\varphi (a,b)=\frac{a}{b}$ bijetora
   • c) Seja $P_a=\{a/b\text{ tal que }b\in \mathbb{N}\}$.
     • i) Dessa forma $\bigcup _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{P}_a=\mathbb{Q}$.
4. Mostre que o conjunto dos irracionais $(ℝ-\mathbb{Q})$ é um conjunto infinito não-enumerável
   • a)Sabemos que o conjunto dos reais é não-enumerável e o conjunto dos racionais é enumerável
     • i) Sabemos também que a união de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável
   • b) É verdade que $ℝ=\mathbb{Q}\cup (ℝ-\mathbb{Q})$
     • i) se $(ℝ-\mathbb{Q})$ fosse enumerável $ℝ$ também seria (por ser união de enumeráveis)
     • ii) como $ℝ$ é não-enumerável, obrigatoriamente $(ℝ-\mathbb{Q})$ é não-enumerável