Análise real/Equivalências entre corpos ordenados arquimedianos

Definição (partição)

$(A_1,A_2,...,A_n)$ é partição de $\mathrm{\Omega }$ se, $\mathrm{\Omega }=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$ e $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$, se $i=j$.

Definição (Seqüências de Cauchy)

Uma seqüência $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ em $𝕂$ é dita de Cauchy se, dado $ϵ>0,\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}$ tal que, se $n,m>n_0$ então $|x_n-x_m|<ϵ$.

Definição (conjunto fechado em $𝕂$)

Um conjunto $F\subset 𝕂$ é dito fechado se o limite de toda sequência de pontos de $F$ é ponto de F.

Definição (conjunto conexo)

$𝕂$ é dito conexo se $𝕂$ e $\mathrm{\varnothing }$ são os únicos subconjuntos abertos e fechados de$𝕂$

Teorema

Seja $𝕂$ um corpo ordenado arquimediano. Em $𝕂$ são equivalentes:

1[1'] Toda seqüência crescente [decrescente] limitada superiormente [inferiormente] de $𝕂$ é convergente;

2[2']) Todo subconjunto $A\subset 𝕂$ não-vazio limitado superiormente [inferiormente] tem supremo [ínfimo];

3[3']) Seja $F\subset 𝕂$ um conjunto fechado limitado superiormente [inferiormente], então, $F$ tem máximo e mínimo;

4)$𝕂$ é conexo.

5) (Postulado de Dedekind) Dada uma partição $(A,B)$ de$𝕂$, com $a<b$, para todo $a\in A$, e $b\in B$, isto é $(A,B)$ é um corte de Dedekind, então, em $A$ existe maior elemento, ou, em $B$, existe menor elemento.

6) (Propriedade dos intervalos encaixantes) Toda seqüência de intervalos encaixantes, fechados e limitados tem intersecção não-vazia. Isto é, seja $([a_n,b_n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$ uma seqüência de intervalos, satisfazendo $[a_{n+2},b_{n+2}]\subset [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]\subset ...\subset [a_1,b_1]\subset [a_0,b_0]$, para todo $n\in \mathbb{N}$, então $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}[a_n,b_n]=\mathrm{\varnothing }$.

7)$𝕂$ é seqüêncialmente completo, isto é, se (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma seqüência em $𝕂$ de Cauchy então (x_n) é convergente.

Demonstração

As equivalências $N\iff N^{\prime }$ são evidentes e serão deixadas como exercício.

1) $\Rightarrow$ 2)

Seja A nas condições de 2), vamos mostrar que A tem supremo.

Como A $=\mathrm{\varnothing }$, podemos pegar $a_0\in A$e como A é limitado superiormente, existe $b_0\in 𝕂$majorante de A.

Seja $c_1=(a_0+b_0)/2$, se $c_1$for majorante de A, então definimos $b_1=c_1$, e $a_1=a_0$ e caso $c_0$ não seja majorante de A, definimos $a_1=c_1$ e $b_1=b_0$.

Suponha que $a_{k-1}$ e $b_{k-1}$ estejam definidas, $c_k=(a_{k-1}+b_{k-1})/2$, se $c_k$ for majorante de A, então definimos $b_k=c_k$, e $a_k=a_{k-1}$ e caso $c_k$ não seja majorante de A, definimos $a_k=c_k$ e $b_k=b_{k-1}$.

Definimos duas seqüências $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ e $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ que formam, respectivamente, uma seqüência monótona não-decrescente e uma seqüência monótona não-crescente. Claramente $a_0$ é um limitante inferior de $(b_n)$ e $b_0$ é um limitante superior de $(a_n)$, e por '1), concluimos que ambas seqüências são convergentes.

Sejam $a=\lim a_n$ e $b=\lim b_n$.

Suponha, por absurdo que $a>b$, então $a-b>0$, tomando $ϵ=a-b$, como $(a_n)\to$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $a-ϵ<a_{n_0}<a+ϵ\Rightarrow a-(a-b)<a_{n_0}<a+(a-b)\Rightarrow b<a_{n_0}$. Portanto $b-a_{n_0}>0$, como $(b_n)\to b$, definindo ${ϵ}^{\prime }=b-a_{n_0}$, existe $n_1\in \mathbb{N}$ tal que, $b-ϵ<b_{n_1}<b+ϵ\Rightarrow b-(b-a_{n_0})<b_{n_1}<b+(b-a_{n_0})\Rightarrow a_{n_0}<b_{n_1}$. Absurdo, pois isso contradiz nossa construção de $(a_n)$ e $(b_n)$.

Por construção, temos $a_n\le a\le b\le b_n$ para todo $n$ natural.