Análise real/Derivadas

Definição

Estamos agora prontos para definir a derivada de uma função.

Seja $f:ℝ\to ℝ$, e seja $a\in ℝ$. Dizemos que $f(x)$ é diferenciável em $x=a$ se, e somente se, existir $L\in ℝ$ tal que

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L$.

$L$ é dita a derivada de $f$ em $a$ e é denotada por $f^{\prime }(a)$.

A função é dita diferenciável no conjunto $A$ se a derivada existir para cada $a\in A$. A função é diferenciável se ela é diferenciável em todo o seu domínio.

Conceitualmente, encontrar a derivada em um ponto significa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Assim, a derivada pode ser considerada como uma aproximação linear ou de primeira ordem.

Propriedades

Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:

Propriedades básicas

Se f e g são diferenciáveis, então:

• $(f+g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

• $(\lambda f{)}^{\prime }(x)=\lambda f^{\prime }(x)$

Demonstração

• $(f+g{)}^{\prime }(x)=\underset{y\to x}{\lim }\frac{(f(y)+g(y))-(f(x)+g(x))}{y-x}$

  $=\underset{y\to x}{\lim }(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}+\frac{g(y)-g(x)}{y-x})$

  $=\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(y)-f(x)}{y-x}+\underset{y\to x}{\lim }\frac{g(y)-g(x)}{y-x}=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

• $(\lambda f{)}^{\prime }(x)=\underset{y\to x}{\lim }\frac{\lambda f(y)-\lambda f(x)}{y-x}=\lambda \underset{y\to x}{\lim }\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\lambda f^{\prime }(x)$

Teorema (diferenciabilidade implica continuidade)

Se $f$ é diferenciável em $x$, então ela é contínua em $x$.

Demonstração

Uma vez que $f$ é diferenciável em $x$, $\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\prime }(x)$.

Então $\underset{y\to x}{\lim }[f(y)-f(x)]=\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\underset{y\to x}{\lim }(y-x)=f^{\prime }(x)0=0$

Assim, $\underset{y\to x}{\lim }f(y)=f(x)$, então f é contínua em x.

Teorema (regra do produto)

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis, então $(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$.

Prova

$(fg{)}^{\prime }(x)=\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(y)g(y)-f(x)g(x)}{y-x}$

$=\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(y)g(y)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(x)g(x)}{y-x}$

$=\underset{y\to x}{\lim }(\frac{f(y)-f(x))g(y)+f(x)(g(y)-g(x))}{y-x}$

$=\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\underset{y\to x}{\lim }g(y)+f(x)\underset{y\to x}{\lim }\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$

$=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$, uma vez que g é contínua em x. $◼$

O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:

$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(g(y))-f(g(x))}{y-x}$

$=\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(g(y))-f(g(x))}{g(y)-g(x)}\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$

$=\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(g(y))-f(g(x))}{g(y)-g(x)}\underset{y\to x}{\lim }\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$

$=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

O problema é que $g(y)-g(x)$ pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte, $\frac{f(g(y))-f(g(x))}{g(y)-g(x)}$ não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:

Lema (Caratheodory)

Seja $f:ℝ\to ℝ$. Dizemos que $f(x)$ é diferenciável em $x=c$ se, e somente se, existe uma função contínua $\varphi :ℝ\to ℝ$ que satisfaz

$(x-c)\varphi (x)=f(x)-f(c)\mathrm{\forall }x\in ℝ$

Prova

• Seja $f(x)$ diferenciável em $x=c$ e defina a função $\varphi :ℝ\to ℝ$ tal que

$\varphi (x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\text{ para }x\ne c$ e

$\varphi (c)=f^{\prime }(c)$

É fácil ver que $\varphi (x)$ é contínua e preenche a condição exigida.

• Seja $\varphi (x)$ uma função contínua que satisfaz $(x-c)\varphi (x)=f(x)-f(c)\mathrm{\forall }x\in ℝ$. Temos, $\mathrm{\forall }x\ne c$, que

$\varphi (x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$

Como $\varphi$ é contínua, $\varphi (c)=\underset{x\to c}{\lim }\varphi (x)$, ou seja,

$\varphi (c)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$, o que implica que $f(x)$ é diferenciável em $x=c$.

Teorema (regra da cadeia)

Seja $g:ℝ\to ℝ$ diferenciável em $c\in ℝ$ e seja $f:ℝ\to ℝ$ diferenciável em $d=g(c)$. Então

(i) $(f\circ g)(x)$ é diferenciável em $x=c$;

(ii) $(f\circ g{)}^{\prime }(c)=f^{\prime }(g(c))g^{\prime }(c)$.

Prova

O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas $\varphi ,\gamma :ℝ\to ℝ$ tais que

$(x-c)\gamma (x)=g(x)-g(c)$ e

$(g(x)-g(c))\varphi (x)=f(g(x))-f(g(c))$.

Agora, considere a função $\eta (x)=\varphi (x)\gamma (x)$. Obviamente, $\eta (x)$ é contínua. Além disso, ela satisfaz

$(x-c)\eta (x)=(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)$.

Assim, pelo Lema de Caratheodory, $(f\circ g)(x)$ é diferenciável em $x=c$ e vale $(f\circ g{)}^{\prime }(c)=\eta (c)=f^{\prime }(g(c))g^{\prime }(c)$.

Exemplos

Considere $f:ℝ\to ℝ$ definida por $f(x)=x$. Qual é a derivada de $f$ em $a$?

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a+h-a}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }1=1$

Assim, aqui vemos que $f^{\prime }(a)=1$. Uma vez que $a$ foi um ponto arbitrariamente escolhido, concluímos que $f^{\prime }(a)=1\mathrm{\forall }a\in ℝ$.

Similarmente a fórmula da derivada também pode ser encontrada.

Uma vez que os teoremas anteriores garantem que soma, bem como o produto, de funções diferenciáveis é resulta em uma função diferenciável, segue que as funções polinomiais são diferenciáveis.

Exercícios

• Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
• Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem $f(x)=\mathrm{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$.
  1. Prove que $f(x)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{sen}\left(\frac{1}{x}\right)& \text{ para todo }x\ne 0\\ 0& \text{ para }x=0\end{array}$ não é contínua em $x=0$.
  2. Prove que a função $f(x)=\{\begin{array}{cc}x\mathrm{sen}\left(\frac{1}{x}\right)& \text{ para todo }x\ne 0\\ 0& \text{ para }x=0\end{array}$ é contínua, mas não diferenciável em $x=0$.
  3. Prove que $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\mathrm{sen}\left(\frac{1}{x}\right)& \text{ para todo }x\ne 0\\ 0& \text{ para }x=0\end{array}$ é diferenciável em $x=0$.

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