Análise real/Convergência uniforme

A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de [[../Convergência pontual|convergêcia pontual]].

Definição

Uma seqüência de funções $\{f_n(x){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ definida em um conjunto $D$ é dita convergir uniformemente se existe uma função $f:D\to ℝ$ tal que:

Para todo $\epsilon >0$, existe um $N$ tal que:
$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in D\mathrm{\forall }n\ge N$

Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.

Comparação entre convergência uniforme e convergência pontual

Como comparação, uma sequência de funções $f_n(x):S\to ℝ$ converge pontualmente para uma função $f:S\to ℝ$ se, e somente se:

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\forall }x\in S\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}t.q.\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<ϵ$

A sequência converge uniformemente quando:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in St.q.\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<ϵ$

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada $ϵ$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada $ϵ$ um N que se aplica a todo x.

Exemplos

Exemplo 1

Considere a seqüência:

$f_n(x)=\frac{1}{n}$

A convergência uniforme é válida com $N>\frac{1}{\epsilon }$.

Exemplo em que a convergência uniforme falha na presença de convergência pontual

Considere o conjunto $D:=\{x\in ℝ:x>0$ e a seguinte seqüência de funções definidas em $D$:

• $f_n(x)=\frac{1}{nx}$

Observa-se que para cada $x$ fixo $f_n(x)$ converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada $\epsilon$ existe um x suficiente próximo à origem tal que:

• $|f_n(x)-0|\ge \epsilon$

Convergência uniforme preserva continuidade

Teorema Seja $f_n(x)$ uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto $D\in ℝ$. Suponha que $f_n$ converge uniformemente para uma função $f(x)$ então f é uma função contínua.

Demonstração Seja $\epsilon >0$ e $x_0\in D$, devemos mostrar que existe um $\delta >0$ tal que:

• $|x_0-x|<\delta ⟹|f(x_0)-f(x)|\le \epsilon$

Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que

• $|f_n(x)-f(x)|\le \epsilon /3,n\ge N(1)$

Da continuidade de $f_N$, temos que existe um $\delta >0$ tal que:

• $|x_0-x|<\delta ⟹|f_N(x_0)-f_N(x)|\le \epsilon /3(2)$

Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:

• $⟹|f(x_0)-f(x)|\le |f(x_0)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f_N(x)|+|f_N(x)-f(x)|$

E das desigualdades $(1)$ e $(2)$, vale que se $|x_0-x|<\delta$:

• $|f(x_0)-f(x)|\le \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3=\epsilon$

Convergência uniforme e a integração

Teorema Seja $f_n:[a,b]\to ℝ$ uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função $f:[a,b]\to ℝ$, então $f$ é integrável a Riemann e vale a igualdade:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$

Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo $\epsilon >0$, exite um $N$ tal que:

$f_n(x)-\epsilon \le f(x)\le f_n(x)+\epsilon ,\mathrm{\forall }n\ge N$

Como $f_n$ é integrável, vale que:

$\overline{{\int }_a^b}{f}_n(x)dx=\underset{\_}{{\int }_a^b}{f}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$

Assim, valem as desigualdades:

$\overline{{\int }_a^b}f(x)dx\le \overline{{\int }_a^b}(f_n(x)+\epsilon )dx={\int }_a^b{f}_n(x)dx+(b-a)\epsilon$

$\underset{\_}{{\int }_a^b}f(x)dx\ge \underset{\_}{{\int }_a^b}(f_n(x)-\epsilon )dx={\int }_a^b{f}_n(x)dx-(b-a)\epsilon$

E, portanto:

$\overline{{\int }_a^b}f(x)dx-(b-a)\epsilon \le {\int }_a^b{f}_n(x)dx\le \underset{\_}{{\int }_a^b}f(x)dx+(b-a)\epsilon$

Tomando o limite $n\to \mathrm{\infty }$, temos:

$\overline{{\int }_a^b}f(x)dx-(b-a)\epsilon \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n(x)dx\le \underset{\_}{{\int }_a^b}f(x)dx+(b-a)\epsilon$

Como $\epsilon >0$ é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:

$\overline{{\int }_a^b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n(x)dx=\underset{\_}{{\int }_a^b}f(x)dx$

E o resultado segue.