Análise real/Coleção de conjuntos

Coleção de Conjuntos

Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.

Ex.: $C=\{\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ\}$

Ex.: $P=\{A,B,C,D\},\text{ onde }A=\varnothing ,B=\{1\},C=\{2\},D=\{1,2\}$. Nesse caso P é o conjunto dos subconjuntos de D, essa família tem o nome de conjunto das partes de D e é geralmente escrita como P(D), de forma que $P(D)=\{X;X\subset D\}$.

Coleção das partes de um conjunto

O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

Ex.: Seja $X=\{a,b,c\}$, logo $P(X)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},X\}=\{Y;Y\subset X\}$.

teorema de Cantor

Se A é um conjunto, não existe uma função $f:A\to P(A)$ que seja sobrejetiva.

• Prova:

União de membros

Seja C uma família cujos membros são $A_1,\mathrm{...},A_n$. Assim $C=\{A_1,\mathrm{...},A_n\},$ onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que $A\in C$.

A união dos membros da família C é escrita assim: $\bigcup _{A\in C}A=A_1\cup A_2\cup \mathrm{...}\cup A_n$.

Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas $\bigcup _{A\in C}A$.

• Definiremos $\bigcup _{A\in C}A=\{x;x\in A\text{ para algum }A\in C\}$ onde x são os elementos dos membros de C.

${\displaystyle }$

Intersecção de membros

Seja C uma família cujos membros são $A_1,\mathrm{...},A_n$. Assim $C=\{A_1,\mathrm{...},A_n\},$ onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que $A\in C$.

A intersecção dos membros da família C é escrita assim: $\bigcap _{A\in C}A=A_1\cap A_2\cap \mathrm{...}\cap A_n$.

Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas $\bigcap _{A\in C}A$.

• Definiremos $\bigcap _{A\in C}A=\{x;x\in A\text{ para todo }A\in C\}$ onde x são elementos de todos os membros de C.

Anel de Conjuntos

Uma família de conjuntos $𝔉$, denomina-se um anel de conjuntos, se satisfaz as seguintes propriedades:

• $SeA,B\in 𝔉,logoA\mathrm{△}B,A\cap B\in 𝔉$

${\displaystyle }$

• Unidade de uma família de subconjuntos $𝔉$:
  • $E\in 𝔉$ é a unidade de $𝔉,se\mathrm{\forall }A\in 𝔉,implicarqueA\cap E=A$

Exemplo 1

Considere $𝔉$ a família de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento, onde $𝔉$ é um anel de conjuntos.

• $Seja𝔉=\{\varnothing ,\{a\}\}$, onde a é um elemento qualquer.
• Assim $\varnothing ,\{a\}\in 𝔉\Rightarrow \varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\{a\}\cap \{a\},\varnothing \mathrm{△}\varnothing ,\varnothing \mathrm{△}\{a\},\{a\}\mathrm{△}\{a\}\in 𝔉$
  • Mas $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing \cap \{a\}=\varnothing \mathrm{△}\varnothing ,\{a\}\mathrm{△}\{a\}=\varnothing$.
  • Também $\{a\}\cap \{a\}=\varnothing \mathrm{△}\{a\}=\{a\}$
• A unidade de $𝔉$ é $\{a\},$ pois:
  • $\{a\}\cap \varnothing =\varnothing e\{a\}\cap \{a\}=\{a\}$

Exemplo 2

Considere $𝔉$ a família de subconjuntos de um conjunto com 2 elementos, onde $𝔉$ é um anel de conjuntos.

• $Seja𝔉=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$, onde a,b são elementos qualquer.
• Assim $\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\in 𝔉\Rightarrow$:
  • $\varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\varnothing \cap \{b\},\varnothing \cap \{a,b\},\{a\}\cap \{a\},\{a\}\cap \{b\},\{a\}\cap \{a,b\},\{b\}\cap \{b\},\{b\}\cap \{a,b\},\{a,b\}\cap \{a,b\}$
  • $\varnothing \mathrm{△}\varnothing ,\varnothing \mathrm{△}\{a\},\varnothing \mathrm{△}\{b\},\varnothing \mathrm{△}\{a,b\},\{a\}\mathrm{△}\{a\},\{a\}\mathrm{△}\{b\},\{a\}\mathrm{△}\{a,b\},\{b\}\mathrm{△}\{b\},\{b\}\mathrm{△}\{a,b\},\{a,b\}\mathrm{△}\{a,b\}$
• A unidade de $𝔉$ é $\{a,b\},$ pois:
  • $\{a,b\}\cap \varnothing =\varnothing ,\{a,b\}\cap \{a\}=\{a\},\{a,b\}\cap \{b\}=\{b\}e\{a,b\}\cap \{a,b\}=\{a,b\}$