Análise real/AplicaçãodeFunções

Projeção

A projeção de um plano cartesiano é o conjunto de pontos retirando uma das coordenadas.

Ex.: Seja A x B um plano cartesiano tal que $A\times B=\{(a,b);a\in A,b\in B\}$. Aqui podemos fazer duas projeções:

• ${\pi }_1:A\times B\mapsto A;{\pi }_1(a,b)=a$
• ${\pi }_2:A\times B\mapsto B;{\pi }_2(a,b)=b$

Ex.: Seja A x B X C um plano cartesiano tal que $A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B,c\in C\}$. Aqui podemos fazer seis projeções:

• ${\pi }_1:A\times B\times C\mapsto A;{\pi }_1(a,b,c)=a$.
• ${\pi }_2:A\times B\times C\mapsto B;{\pi }_2(a,b,c)=b$.
• ${\pi }_3:A\times B\times C\mapsto C;{\pi }_3(a,b,c)=c$.
• ${\pi }_4:A\times B\times C\mapsto A\times B;{\pi }_4(a,b,c)=(a,b)$.
• ${\pi }_5:A\times B\times C\mapsto A\times C;{\pi }_5(a,b,c)=(a,c)$.
• ${\pi }_6:A\times B\times C\mapsto B\times C;{\pi }_6(a,b,c)=(b,c)$.

Área de um retângulo com lados paralelos aos eixos

Consideremos um Retângulo de vértices $(x_1,y_1),(x_2,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_2),\text{ tais que }{x}_1<x_2\text{ e }{y}_1<y_2$. Assim sua área é dada pela função $f:{ℝ}^2\times {ℝ}^2\mapsto {ℝ}^{+};f(x_1,x_2,y_1,y_2)=(x_2-x_1)\cdot (y_2-y_1)$

Essa função não é injetiva, pois dado $x_3=x_1+2,x_4=x_2+2,y_3=y_1,y_4=y_2\Rightarrow f(x_3,x_4,y_3,y_4)=(x_2-x_1)\cdot (y_2-y_1)=f(x_1,x_2,y_1,y_2)$ sendo que $x_3\ne x_1\text{ e }{x}_4\ne x_2$

Essa função é sobrejetiva pois dado um $A\in {ℝ}^{+},\text{ temos que }f(0,\sqrt{A},0,\sqrt{A})=(\sqrt{A}-0)\cdot (\sqrt{A}-0)=A$

Área de um triângulo com base paralela ao eixo x

Consideremos um Triângulo de vértices $(x_1,y_1),(x_2,y_1),(x_3,y_2),\text{ tais que }{x}_1<x_2,\text{ e }{y}_1<y_2$. Assim sua área é dada pela função $f:{ℝ}^3\times {ℝ}^2\mapsto {ℝ}^{+};f(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2)=\frac{(x_2-x_1)\cdot (y_2-y_1)}{2}$

Essa função não é injetiva, pois dado $x_4=x_1+2,x_5=x_2+2,y_3=y_1,y_4=y_2\Rightarrow f(x_3,x_4,x_5,y_3,y_4)=\frac{(x_2-x_1)\cdot (y_2-y_1)}{2}=f(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2)$ sendo que $x_4\ne x_1\text{ e }{x}_5\ne x_2$

Essa função é sobrejetiva pois dado um $A\in {ℝ}^{+},\text{ temos que }f(0,\sqrt{2A},x_3,0,\sqrt{2A})=\frac{(\sqrt{2A}-0)\cdot (\sqrt{2A}-0)}{2}=A$

Área de um triângulo com uma incógnita

Consideremos um Triângulo de vértices $(0,x),(2,0),(0,0),\text{ tais que }x>0$. Assim sua área é dada pela função $f:{ℝ}^{+}\mapsto {ℝ}^{+};f(x)=x$

Essa função é injetiva, pois dado $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$.

Essa função é sobrejetiva pois dado um $x\in {ℝ}^{+},\text{ temos que }{x}_{Im}=f(x)=x_D$.