Análise real/2Funções

Igualdade de funções

Sejam $f:A\mapsto Beg:C\mapsto D$ duas funções. Dizemos que f e g são iguais se

• são dadas pela mesma regra de associação, ou seja, se $f(x)=g(x),\mathrm{\forall }x\in A,C$.
• "A = C": A condição acima só tem sentido (podendo ser falsa) se f e g tiverem o mesmo domínio (no caso A=C).
• "B = D": E também é indispensável que f e g tenham o mesmo contradomínio.

Por esta razão, podemos considerar iguais duas funções de contradomínios diferentes. Mais delicado é considerar que funções de domínios diferentes sejam iguais. Entretanto, cometemos este abuso quando, por exemplo, o domínio de uma função contém o domínio da outra. Quando a prudência mandar, devemos lidar com os conceitos de restrição e extensão.

Restrição de uma função

Sejam $f:A\mapsto Beg:C\mapsto D$. Dizemos que f é uma restrição de g ou que g é uma extensão de f se $A\subset Cef(x)=g(x),\mathrm{\forall }x\in A$. Neste caso escrevemos $f=g|A$.

Função Composta

Sejam $f:A\mapsto Beg:C\mapsto D$ tais que $f(A)\subset C$.

Definimos a função composta $g\circ f:A\mapsto D$ que a cada $x\in A$ associa $z=g(f(x))\in D$.

• BEM ENCAIXADOS: A definição anterior faz sentido pois dado $x\in A$ temos que $y=f(x)\in f(A),comof(A)\subset C$ temos $y=f(x)\in C$. Neste caso podemos aplicar g e encontrar $z=g(y)=g(f(x))\in D$.
  • Na prática é assim: $Dadox\in A,(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z,ondey=f(x)$.
• $B\subset ̸C$ não atrapalha a composição. Suponha $f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z},f(x)=2xeg:2\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z},g(y)=3y.$ Observamos que $\mathbb{Z}\subset ̸2\mathbb{Z},masf(\mathbb{Z})\subset 2\mathbb{Z}$. Portanto a função composição é possível.
• ASSOCIATIVA: Observamos ainda que a operação de composição de funções é associativa, i.e., se $f:A\mapsto B,g:C\mapsto Deh:E\mapsto Fcomf(A)\subset Ceg(C)\subset E$, então temos que $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)=h(g(f(x))),\mathrm{\forall }x\in A$.
• Para $f:A\mapsto A$ definimos $f^n:A\mapsto A$ por $f^n=\underset{nvezes}{\underbrace{f\circ \mathrm{...}\circ f}}$.

Função Inversa

Seja $f:A\mapsto B$.

Definimos $g:f(A)\mapsto A,g=f^{-1},y\in f(A),\mathrm{\exists }x\in A;g(f(x))=x,\mathrm{\forall }x\in A$.

• $f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{N},comf(x)=x^{2}eg:f(\mathbb{Z})\mapsto \mathbb{Z},comg(y)=\sqrt{y},y=f(x)$. Assim $g(y)=g(f(x))=g(x^2)=\sqrt{(}{x}^2)=x$.
  • Exemplo $f(4)=16eg(16)=4$.
• Sejam $f:A\mapsto B\text{ e }g:B\mapsto A$ tais que $(g\circ f)(x)=x,\mathrm{\forall }x\in A\text{ e }(f\circ g)(y)=y,\mathrm{\forall }y\in B$. Dizemos que f é invertível, que g é a inversa de f e escrevemos $g=f^{-1}$.
• Não devemos confundir $f^{-1}$ da definição acima com ${\tilde{f}}^{-1}$. Sempre que aplicamos $f^{-1}$ em conjuntos está subentendido que trata-se da imagem inversa. Quando se aplica $f^{-1}$ num elemento y, pode-se entender como $f^{-1}(y)$, caso a inversa exista, ou ${\tilde{f}}^{-1}(\{y\})$, a imagem inversa de um conjunto unitário.
• Repare que intercambiando f com g, A com B e x com y as hipóteses da definição de função inversa não mudam, porém a conclusão dirá que f é a inversa de g. Concluímos que f é a inversa de g se, e somente se, g é a inversa de f. Se $f:A\mapsto B$ é injetiva, então mesmo quando ela não for sobrejetiva, ainda poderemos considerar sua função inversa $f^{-1}$ ficando subentendido que o domínio de $f^{-1}$ é f(A) (e não B). Desta forma $(f^{-1}\circ f)(x)=x,\mathrm{\forall }x\in A\text{ e }(f\circ f^{-1})(y)=y\mathrm{\forall }y\in f(A)$.