Análise complexa/Funções holomorfas

Diferenciabilidade

Dizemos que uma função $f:A\to ℂ$ é diferenciável no ponto $z_0$, quando $z_0$ é um ponto interior de $A$ e existe o limite

$\underset{z\to z_0}{lim}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

Neste caso, tal limite é chamado de derivada complexa de $f$ no ponto $z_0$, ou simplesmente derivada de $f$ em $z_0$, e denotado por $f^{\prime }(z_0)$.

Verifica-se facilmente que a derivada de $f$ em $z_0$ também pode ser escrita como

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+h)-f(z_0)}{h}$

A função $f$ é dita diferenciável sobre $A$ quando este conjunto é aberto, e $f$ é diferenciável em todo ponto do conjunto.

Tem-se como consequencia imediata da definição que

Se $f$ é diferenciável em um ponto $z_0$, então $f$ é também contínua neste ponto.

Demonstração

Deixada a cargo do leitor. Sinta-se a vontade para enriquecer este texto acrescentando a demonstração.