Álgebra linear/Transformações lineares

Transformações Lineares

Existência de uma transformação

Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a $dimV<\mathrm{\infty }$. Seja $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ uma base de V e $w_1,w_2,...,w_n$ vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear $T:V\mapsto W,T{v}_i=w_i,i=1,...,n$.

Imagem de uma transformação linear

A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere $T:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$, definida por $T(x,y)=(2x+3y,4x-3y)$. O valor de $T$ em um ponto $(x,y)$ pode ser reescrito da seguinte forma:

$T(x,y)=(2x+3y,4x-3y)=x(2,4)+y(3,-3)$.

Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores $(2,4)$ e $(3,-3)$, isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de $T$. Como poderá ser verificado pelo leitor, estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de $T$.

Núcleo

Teorema do núcleo

O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio

A demonstração é simples:

• Ker(T) não é vazio, pois 0_V é um elemento de Ker(T), já que T(0_V) = 0_W
• Se $v,w\in Ker(T),$ então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e $v+w\in Ker(T)$
• Se $\lambda \in K$ e $v\in Ker(T),$ temos $T(v)=0$ logo $T(\lambda v)=\lambda T(v)=\lambda 0=0,$ ou seja, $\lambda v\in Ker(T)$

Posto e nulidade

Se $dimV<\mathrm{\infty }$, e $T:V\mapsto W$

• O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).

e

• A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).

Teorema do posto e da nulidade

Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e $T:V\mapsto W$. Se $dimV<\mathrm{\infty }$, então posto(T) + Nulidade(T) = dim V

Prova

• Definindo a base do núcleo e a base do espaço:

Seja $\{v_1,v_2,...,v_k\}$ uma base do Ker(T). Existem vetores $v_j,$ com j=k+1,...,n onde $\{v_1,v_2,...,v_k,v_{k+1},...v_n\}$ é uma base de V.

• Definindo a base da imagem:

Como $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos $T{v}_1,T{v}_2,...,T{v}_n$, mas $T{v}_1=T{v}_2=...=T{v}_k=0$, pela definição de núcleo. Assim os vetores $T{v}_{k+1},...,T{v}_n$ geram a imagem de T(V).

• Provando que os vetores são independentes:

Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem $\mathrm{\exists }{c}_i\in K,$ tal que $\sum _{i=1}^n{c}_i{v}_i=0\iff c_i=0,i=1,...,n$.

Tomemos $\sum _{i=k+1}^n{c}_i(T{v}_i)=0\iff T(\sum _{i=k+1}^n{c}_i{v}_i)=0$. Logo $w=\sum _{i=k+1}^n{c}_i{v}_i\in Ker(T)$. Como $w\in Ker(T),w=\sum _{i=1}^k{b}_i{v}_i,b_i\in K$.

Portanto $w=\sum _{i=k+1}^n{c}_i{v}_i=\sum _{i=1}^k{b}_i{v}_i\iff \sum _{i=k+1}^n{c}_i{v}_i-\sum _{i=1}^k{b}_i{v}_i=0$. Como $v_1,v_2,...,v_k$ são L.I., então $b_i=c_i=0,\mathrm{\forall }i=1,...,n$.

• Definindo posto e nulidade:

O Posto(T) = dim Im(T). Como $T{v}_{k+1},...,T{v}_n$ geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.

A nulidade (T) = dim Ker(T). Como $\{v_1,v_2,...,v_k\}$ é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k

Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).

Funcionais lineares

Definição

Predefinição:Teorema

Predefinição:Teorema

Corolários:

$f=\sum f(v_i)f_i$

$v=\sum f_i(v)v_i$

Teoremas

Demonstra-se ainda que $v_o=\sum \overline{f(e_i)}{e}_i$

Operador linear

Dizemos que T uma transformação linear, $T:V\mapsto V$ é chamada operador linear de T sobre V.

Adjunto de um operador linear

Definição

Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.

A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):

$(S+T{)}^{*}=S^{*}+T^{*}$

$(\lambda T{)}^{*}=\overline{\lambda }{T}^{*}$

$(S\circ T{)}^{*}=T^{*}\circ S^{*}$

Predefinição:Corolário

Operadores especiais

• Auto-adjunto ($T^{*}=T$)
• Unitário ($T^{*}=T^{-1}$)
• Normal ($T^{*}T=T{T}^{*}$)

Operador auto-adjunto

Predefinição:Definição Uma matriz A é auto-adjunta se $\stackrel{t}{\stackrel{‾}{A}}=A.$

• Se $K=R,$ $[T{]}_{\alpha }$ é chamada simétrica.
• Se $K=C,$ $[T{]}_{\alpha }$ é chamada hermitiana.

Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:

Se $⟨T(u),v⟩=0,\mathrm{\forall }u,v\in V,$ então $T=0.$

Se V é complexo e $⟨T(u),u⟩=0,\mathrm{\forall }u\in V,$ então $T=0.$

Prove:

• Se $T^{*}=T$ e $⟨T(u),u⟩=0,\mathrm{\forall }u\in V,$ então $T=0.$
• Seja $T:V\to V,$ com V complexo. Então $T^{*}=T⟺⟨T(v),v⟩\in R.$

Operador unitário

Uma matriz A é unitária se ${\bar{A}}^t=A^{-1}$

Prove:

• T é unitário $⟺⟨T(u),T(v)⟩=⟨u,v⟩$ (T preserva o produto interno)
• T é unitário $⟺|T(u)|=|u|$ (T preserva a norma)
• T é unitário $⟺T^{-1}$ é unitário

Operador normal

Predefinição:Definição Uma matriz A é normal se $A{A}^{*}=A^{*}A$

Prove:

• Todo operador auto-adjunto é normal
• Todo operador unitário é normal

É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.

Subespaço invariante

Definição

Predefinição:Definição Dizemos também que W é T-invariante.

Exercícios

Prove:

• Se W é T-invariante, então $W^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é $T^{*}$-invariante.
• Se W é T-invariante e T é inversível, então $T(W)=W.$
• Se W é T-invariante e T é inversível, então W é $T^{-1}$-invariante e $T^{-1}(W)=W.$
• Se W é T-invariante e T é unitário, então W é $T^{-1}$-invariante (ou $T^{*}$-invariante).
• Se W é T-invariante e T é unitário, então $W^{\perp }$ é T-invariante.

Ver também

Wikipédia

• Núcleo da transformação linear
• Transformação linear