Álgebra linear/Produto interno

Em Álgebra linear, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O Predefinição:Busca, comumente usado na Predefinição:Busca, é um caso especial de produto interno.

Definição

Seja V um Predefinição:Busca sobre um Predefinição:W K. Em V, pode-se definir a Predefinição:Busca binária $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to K$ (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:

$⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}$

$⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩$

$⟨\lambda u,v⟩=\lambda ⟨u,v⟩$

Se $v\ne 0$, então $⟨v,v⟩$> $0$

em que u, v e w são vetores de V, e λ é um elemento de K.

A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:

$⟨u,v+w⟩=⟨u,v⟩+⟨u,w⟩$

$⟨u,\lambda v⟩=\bar{\lambda }⟨u,v⟩$

Se $v=0$, então $⟨v,v⟩=0$

Se $⟨v,v⟩=0$, então $v=0$

Exemplos

O Predefinição:Busca sobre o espaço vetorial ${ℝ}^3$ satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:

$⟨(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)⟩=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

Se f e g são duas funções contínuas em um intervalo fechado, é possível definir o produto interno:

$⟨f,g⟩=\int f(x)\overline{g(x)}dx$

Vetores ortogonais

Diz-se que dois vetores $u,v\in V$ são ortogonais se $⟨u,v⟩=0$.

Consequências (prove!):

Se $⟨u,v⟩=0,\mathrm{\forall }v\in V$, então $u=0$

Se $⟨T(u),v⟩=0,\mathrm{\forall }u,v\in V$, então $T=0$

Complemento ortogonal

Seja $v\in V,v\ne 0$

Define-se o complemento ortogonal de v, $v^{\perp }$, como:

$v^{\perp }=\{v{\}}^{\perp }=\{u\in V|⟨u,v⟩=0\}.$

Consequências (prove!):

$v^{\perp }$ é um subespaço vetorial de V

Seja $W$ um subespaço vetorial de V, e $\alpha =\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ uma base de $W$. $v\in W^{\perp }⟺v\in v_i^{\perp },i=1,\dots ,n$

$(W^{\perp }{)}^{\perp }=W$, W é subespaço de V.

Norma

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com produto interno. Define-se a norma ou comprimento de um vetor $v\in V$ como sendo o número $\sqrt{⟨v,v⟩}$, que indicamos por $|v|$.

Consequências (prove!):

$|v|=0⟺v=0$

Se $v\ne 0$, então $|v|>0$

$|\lambda v|=|\lambda ||v|,\mathrm{\forall }\lambda \in K,v\in V$

Se $⟨u,v⟩=0$, então $|u+v{|}^2=|u{|}^2+|v{|}^2$ (Teorema de Pitágoras)

Projeção ortogonal

Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, em que u ≠ 0

Define-se essa projeção como sendo o vetor

${\text{proj}}_{u}v=\frac{⟨v,u⟩}{⟨u,u⟩}\cdot u$

Projeção de um vetor v sobre um subespaço vetorial W de V

Seja $W=[u_1,u_2]$, em que $\{u_1,u_2\}$ é uma base ortogonal de W.

${\text{proj}}_{W}v={\text{proj}}_{u_1}v+{\text{proj}}_{u_2}v$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Dados $u,v\in V$, então $|⟨u,v⟩|\le |u|\cdot |v|$

Desigualdade triangular

$|u+v|\le |u|+|v|,\mathrm{\forall }u,v\in V$

Base ortogonal e ortonormal

Uma base $\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ de V é dita ortonormal se $⟨v_i,v_j⟩=\delta ij$, em que

$\delta ij=1$, se i = j

$\delta ij=0$, se i ≠ j

A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois.

v1.v2=0

Propriedade: n vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt

Dada uma base $\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ de V.

$u_i=v_i-\sum _{k=1}^{i-1}\frac{⟨v_i,u_k⟩}{⟨u_k,u_k⟩}{u}_k$

Distância entre dois vetores

Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, u e v, como sendo $d(u,v)=|u-v|$

Uma função distância tem as seguintes propriedades:

$d(u,v)\ge 0$

$d(u,v)=0\iff u=v$

$d(u,v)=d(v,u)$

$d(u,v)\le d(u,w)+d(w,v)$

Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.

Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V

Se $d(v,u)\le d(v,u^{\prime }),\mathrm{\forall }{u}^{\prime }\in W$, então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W.

Demonstra-se que $u=pro{j}_{W}v$