Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas

Formas bilineares

Matriz associada a uma forma bilinear

Sejam $g:V\times V\to K$ uma forma bilinear, e $\alpha =\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:

$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$

Então:

$g(X,Y)=X^{t}AY$,

onde A é a matriz associada à forma bilinear g.

A matriz A é dada por:

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

onde $a_{ij}=f(v_i,v_j)$

Formas bilineares simétricas

Predefinição:Definição Proposição: $g:V\times V\to K$ é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.

Formas quadráticas

Note que:

• $f(u+v)=f(u)+2g(u,v)+f(v)$
• $f(\lambda v)={\lambda }^{2}f(v)$

Fórmulas de polarização

As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas:

• $g(u,v)=\frac{1}{4}(f(u+v)-f(u-v))$
• $g(u,v)=\frac{1}{2}(f(u+v)-f(u)-f(v))$