Álgebra linear/Determinantes

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Definição

Seja $\mathrm{M}$ o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo k. Pode-se provar que existe uma única função $f$ com as seguintes propriedades:

1. $f$ é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
2. $f$ ($\mathrm{I}$$n$) onde $I$$n$ é a matriz identidade.

Esta função denomina-se de determinante.

O determinante de uma matriz $A$ representa-se por $\mid A\mid$ ou por $det(A)$.

Matrizes 3x3

O determinante de matrizes de ordem 3 pode ser encontrado pela Regra de Sarrus, na qual a matriz é extendida repetindo as duas primeiras colunas, de modo que seja obtida uma sequência de 5 colunas. Em seguida, é somado os produtos das três diagonais principais (que partem de cima para baixo) e subtraído os produtos das três diagonais secundárias (que vão de baixo para cima). Seja a matriz de ordem 3 $M$, o determinante pode ser dado por:

$\det (M)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}-a_{32}{a}_{23}{a}_{11}-a_{33}{a}_{21}{a}_{12}.$

Cofator de uma matriz

É um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada. Compreender o cofator é um pré-requisito para o estudo do Teorema de La Place, que é comumente usada para calcular determinantes de ordem maior que três. Cada elemento possui o seu respectivo cofator, que é representado pela seguinte expressão:

$Aij=(-1{)}^{i+j}det(Mij)$

O valor de $A$ é justamente o cofator do elemento $aij$. O ultimo termo diz respeito a determinante da matriz em questão sem os elementos da linha $i$ e da coluna $j$.

Calcule o determinante usando cofatores:

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 3\\ 2& 3& 4& 2\\ 0& 2& 5& 1\\ 4& 1& 0& 0\end{array}\right]$